Площ на област между криви

Вече видяхме как да намираме площта между кривата и оста х, като използваме определен интеграл. Сега ще разширим това и ще разгледаме площ между криви. Да кажем, че ни интересува тази област от x = a до х = b между кривите у = f(х) и у = g(х). Това ще бъде тази област ето тук От това, което вече знаем за определените интеграли, как можем да изчислим това? Вероятно ти се струва естествено, когато трябва да намерим интеграл от а до b от f(х)dх, че това ще ни даде цялата площ между f(х) и над оста х. И ако после извадя цялата тази площ ето тук, която е равна на определен интеграл от а до b от g(х)dx. Тогава ще получим общата площ, която ни интересува. Ще получим ето тази площ. Точно това ще се случи. Знаем от свойствата на интегрирането, че можем да представим това като интеграл от а до b от... само ще поставя тук скоби... от (f(х) минус g(х))dх. И сега ще направя едно твърдение, за да ни стане още по-ясно това, докато върви това видео, но върху интеграл от a до b, където f(х) е по-голямо от g(х), например като в този интервал ето тук, това винаги ще е вярно, че площта между двете криви ще е равна на интеграл за интервала на х, който ни интересува, от а до b, от f(х) минус g(х). Знам какво си мислиш – това може да е вярно, когато и двете функции са над оста х, но какво ще стане, когато f(х) е над оста х, а g(х) е под нея? Да кажем, че разглеждаме този интервал ето тук. Нека това да е точка с, а това е х = с, а тук х = d. Ако искаме да изчислим тази площ, която защриховам? Сигурно се чудиш дали това важи и тук. Да видим какъв ще бъде интегралът какво представлява интегралът от с до d от f(х)dх. Той ще представя тази площ ето тук. А какво ще представя интегралът от с до d от g(х)dx? Можем да кажем, че е тази област ето тук, но запомни, че в в този интервал g(х) е под оста х. Така че тук ще имаме отрицателна стойност. Ако търсим общата площ, можеш да вземеш тази област тук, която е в синьо, тя е положителна, и да извадиш от нея тази отрицателна площ, като така ще получиш положителна площ. Това е равно на интеграл от с до d от f(х) минус g(х). Нека да поставя скоби, а после имаме dх. Повтарям, дори в този интервал, когато f(х) е над оста х, а g(х) е под оста х, отново имаме същото нещо. Да видим друг случай. Да видим случай, в който и двете са под оста х. Да кажем, че интервалът е от х равно на... няма да използвам е, защото то значи много неща в математиката, както и f, и g. Изглежда свършват буквите. Да кажем, че интервалът е от... не знам, да вземем m, а това тук нека да бъде n. Тук ще бъде n. Търсим тази площ, която е под кривата f. Да приемем, че интервалът е такъв, където f е по-голямо от g, значи под f и над g. Дали ще е равно на същото, когато крайните точки са m и n? Да помислим. Ако можем да сметнем интеграл от m до n... ще сложа тук dх, от f(х) минус g(х) вече знаем от правилата за интегриране, че това е равно на интеграл от m до n от f(х)dх минус интеграл от m до n от g(х)dх. Да видим какво представлява всяко едно от тези. Този жълт интеграл тук, това ще ни даде тази отрицателна площ. Това тук ще бъде отрицателна стойност. Но големината ѝ, абсолютната ѝ стойност, ще бъде тази площ ето тук. А какво е интегралът, като дори ще пренебрегнем отрицателния знак, интегралът от това g(х), този син интеграл какво дава? Това ще бъде цялата площ тук със знак минус. Значи ще вземем това със знак минус, така че тази част ето тук, цялата тази част заедно с този отрицателен знак, ще ни даде тази цялата площ, цялата площ тук. Това ще стане положително, защото вадим нещо с отрицателен знак. Но ако тази площ тук, която ни интересува, тази, която първоначално търсехме, искаме да извадим тази жълтата площ. Значи това тук, този жълт интеграл, определеният интеграл от m до n от f(х)dх, това е точно това тук. Това е жълтата област със отрицателен знак. Така че, ако добавим синята област, минус отрицателно става плюс, а после това ще бъде отрицателното на жълтата област, тогава ще получим площта, която ни интересува. Във всеки случай видяхме, че ако говорим за интервал, в който f(х) е по-голямо от g(х), площта между кривите е просто определен интеграл в този интервал от (f(х) – g(х))dх.