Интеграл от sin^4(x)

Да проверим как ще се справим с неопределен интеграл от синус на четвърта от х. Препоръчвам ти както обикновено: спри видеото и опитай да го направиш самостоятелно. Ако тук имах нечетна степен, независимо дали синус или косинус, то щях да приложа следната техника. Ако имахме синус на трета от х, щях да изнеса синус от х от него, така че да се получи синус квадрат от х по синус от х. След това ще преобразувам този израз чрез основното тригонометрично тъждество, а след това ще умножа по синус от х и ще използвам интегриране със заместване. Правили сме това в предни уроци. Може би имаш опит с косинус на трета от х или на пета степен, или на седма степен, т.е. имаш нечетна степен. Тук обаче имаме четна степен. Какво да направим? Методът, който ще приложим, който можеш да наречеш трик, т.е. методът или трикът, който ще използваме, е отново да преобразуваме алгебрично този израз, така че да приложим техника за интегриране, с която сме запознати. В този случай ще използваме тригонометричното тъждество за двоен ъгъл. То гласи, че синус квадрат от х е равно на 1/2 по 1 минус косинус от 2 по х. Как мога да го приложа в първоначалния интеграл? Даденият израз е просто същото нещо като интеграл от синус квадрат от х, цялото на квадрат, dx. Сега вече мога да направя това полагане (заместване). Този израз е равен на този, който е равен на ето този от тъждеството за двоен ъгъл. Тогава мога да запиша интеграл от 1/2 по 1 минус косинус от 2 по х, цялото на квадрат, dx. И на какво ще бъде равно това? Нека да видим. 1/2 на квадрат е 1/4, което мога да изнеса пред интеграла. Отпред остава 1/4 по следното. Просто ще повдигна на квадрат израза в скобите. 1 на квадрат е 1, минус 2 по косинус от 2 по х, плюс косинус квадрат от 2 по х, dx. Сравнително лесно ще намерим неопределен интеграл от първите два члена в скобите. Какво обаче да правя с третия? Отново присъства четна степен. Нека да приложим тъждеството за двоен ъгъл. Косинус квадрат от 2 по х ще бъде равно на 1/2, умножено по 1 плюс косинус от удвоения ъгъл, т.е. от 4 по х. Следва отново да заместим. Получаваме следното. Нека всъщност го запиша ето така. Може би ще сменя цвета. Или просто ще използвам същия цвят. 1/4 по 1 минус 2 по косинус от 2 по х – разкривам скобите и умножавам по 1/2 – плюс 1/2, плюс 1/2 по косинус от 4 по х, dx. Нека да взема това 1/2 и да го прибавя към тази единица, което ще ми даде 3/2. Събираме тези две числа и получавам 3/2. Нека отново да запиша какво се получава. Почти към края сме. Равно е на 1/4 по интеграл от 3/2 минус 2 по косинус от 2 по х. Производната от 4 по х е равна на 4. Би било удобно, ако имах една четворка тук. Ще представя 1/2 като 4 върху 8. Всъщност просто умножавам и разделям на 4. Може и така да го разглеждаш. Тогава следва плюс 1/8 по 4, по косинус от 4 по х. Просто преобразувам този израз. Теоретично можеш да използваш интегриране със заместване, но вече сме го упражнявали много пъти. Разполагаме с функция и с нейната производна и може просто да интегрираме спрямо 4 по х ето тук. Това е верижното правило, приложено в обратна посока, което реално представлява интегрирането със заместване. Сега вече сме готови да интегрираме. Това ще бъде равно на следното. Мисля, че заслужаваме поздравления. 1/4 по 3/2 по х, а производната на 2 по х, е числото 2 ето тук. Тогава следва минус синус от 2 по х. Проверяваме производната на синус от 2 по х. Ще се получи 2 по косинус от 2 по х, което имаме ето тук. Следва плюс 1/8 по синус от 4 по х. Производната от синус от 4 по х, ще бъде равна на 4 по косинус от 4 по х, което е точно изразът, който имаме тук. И накрая просто прибавяме константата C. Това е неопределен интеграл. И сме готови. Тази задача не е от най-лесните, но не е и от най-трудните. Необичайно удовлетворяващо е да се справиш с нея.