Въведение в интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества

Искаме да изчислим този неопределен интеграл тук. Имаме квадратен корен от 4 по минус х квадрат в знаменателя. Може да опитаме със заместване (полагане), но няма да опростим израза по подходящ начин. Тогава какво да използваме? Друго нещо, за което да се досетиш, е, че изразът под корена 4 минус х квадрат прилича на нещо, което се получава, ако използваме питагоровата теорема. Например, ако търсим един от катетите чрез питагоровата теорема. Ако хипотенузата е равна на 2, то имаме 2 квадрат, а другата страна е равна на х, т.е. имаме 2 квадрат минус х квадрат. Този израз ще бъде равен на търсения катет. Нека да използваме тази идея. Имаме следното. Дадено е следното. Ако не се досетиш веднага за тази идея, не се притеснявай. Действително аз също не се досетих първия път, когато се сблъсках с подобна задача. Нека е даден правоъгълен триъгълник. Нека изобразим идеята, която споменахме. Хипотенузата на правоъгълния триъгълник е равна на 2. Хипотенузата има дължина 2. Равна е на 2, Избираме този катет, или всъщност ето този. Нека този катет, или нека последно да е първия. Този катет тук има дължина равна на х. Тоест тази страна е равна на х. Малко е необичайно, защото обикновено асоциираме тази страна с y, но нека да продължим така. Тази страна тук има дължина х. Тогава на какво ще бъде равна основата ето тук? Тоест на какво ще е равен този катет? Ако използваме питагоровата теорема, ще получим, че е равна на квадратен корен от хипотенузата на квадрат, т.е. 2 квадрат, което е равно на 4, минус другия катет на квадрат, което е минус х квадрат. Интересно е, че се получава този израз, според интуицията или идеята, която имахме, когато разглеждахме дадения интеграл. Как обаче това ще ни помогне? Тук е моментът да използваме тригонометрия. Нека означим ето този ъгъл тук да е равен на θ (тета). Тогава на какво ще бъде равно синус от θ или косинус от θ, изразени чрез страните на триъгълника? Нека проверим. Синус от θ е равно на срещуположния катет върху хипотенузата. Равно е на х върху 2. Ако искаме да изразим х, то х е равно на 2 по синус от θ. Това е интересно. А на какво е равно косинус от θ? Косинус от θ е равно на прилежащия катет, т.е. квадратен корен от 4 минус х на квадрат, върху хипотенузата. Ако искаме да изразим катета, то ще получим, че квадратен корен от 4 минус х квадрат, ще бъде равно на хипотенузата по косинус от θ. И това е интересно. Ако х е равно на 2 по синус от θ, то целият този израз се опростява до 2 по косинус от θ. Това изглежда много интересно. Нека да направим това полагане. Нека х е равно на 2 по синус от θ. Ако х е равно на 2 по синус от θ, то dx ще бъде равно на 2 по косинус от θ, dθ. И ако х е равно на 2 по синус от θ, то този израз на какво ще бъде равен? Е, вече го намерихме. Този израз е равен на 2 по косинус от θ. Този израз е равен на следното. Нека го запиша с оранжево. Равно е на 2 по косинус от θ. Този израз е равен на 2 по косинус от θ. Достигнахме до тези изрази, чрез правоъгълния триъгълник и определенията за тези тригонометрични функции. А можехме да използваме единичната окръжност, която е като допълнение на тези дефиниции. А можеш да го направиш, ако забележиш, че след като х е 2 по синус от θ, то можеш да използваш основното тригонометрично тъждество, или тригонометричните тъждества, и щеше да получиш, че целият този израз, ще се опрости до 2 по косинус от θ. Нека просто продължим напред и проверим дали можем да го изчислим чрез това заместване. Получава се следният неопределен интеграл. dx или 1 по dx ще бъде равно на 2 по косинус от θ, dθ. Нека го запиша. Получава се 2 по косинус от θ, а dθ ще го запиша ето тук. А на какво е равен знаменателят? Квадратен корен от 4 минус х квадрат? Това отново е равно на 2 по косинус от θ. Тоест тук имаме 2 по косинус от θ. Резултатът от заместването е много приятен. 2 по косинус от θ върху 2 по косинус от θ, което е равно на 1. Изразът се опростява и се получава интеграл от dθ. И ако просто го изчислим, ще получим направо θ плюс C. Това е много добре, но все още не сме приключили. Искаме да намерим неопределения интеграл като функция на х. Нека сега изразим х от ето този израз. х е равно на 2 по косинус от θ. О, извинявай! х е равно 2 по синус от θ. х е равно на 2 по синус от θ. Нека разделим двете страни на 2. х върху 2 е равно на синус от θ. Искаме да изразим θ. А θ е ъгълът, чийто синус е равен на х върху 2. Нека да продължим. Осигурявам си малко повече място. θ е равно на обратната функция на синус, или синус на минус първа степен от х върху 2. Може да го запишем така, а може да го запишем и като θ е равно на аркус синус. Аркус синус от х върху 2. Тогава получаваме, че θ е равно на аркус синус от х върху 2. Нека го запишем. Аркус синус от х върху 2 плюс С. И сме готови! Току-що изчислихме дадения неопределен интеграл. Може би забеляза нещо. Донякъде преминах наистина бързо през задачата, за да си представиш общата идея, или картина. Но тук има и някои интересни детайли, на които си струва да отделим малко повече внимание. Първото нещо, което може би забелязваш, е, че х е ограничен, т.е. дефиниционното множество за х в този израз е ограничено. Нека да проследим това, за да се уверим, че не сме нарушили това, когато направихме това полагане. Според дефиниционното множество х следва да бъде по-голямо от минус 2 и по-малко от 2. Ако абсолютната стойност на х е равна на 2, то ще имаме 0 в знаменателя. Ако абсолютната стойност на х е по-голяма от 2, то ще се получи отрицателно число в знаменателя, което не е допустимо. Следователно това тук е дефиниционното множество. Нека се уверим, че с полагането, което използвахме, не сме го нарушили. х приема стойности между минус 2 и 2. След като х е равно на 2 по синус от θ, това означава, че 2 по синус от θ следва да бъде между минус 2 и 2. Минус 2 следва да е по-малко от 2 по синус от θ. 2 по синус от θ. А това следва да е по-малко от 2. Може да разделим всички страни на това сложно неравенство на 2. Получаваме, че минус 1 е по-малко от синус от θ, По-малко от синус от θ, което е по-малко от 1. За да е изпълнено това, следва θ да е по-малко от π/2. За π/2 синус от θ ще бъде равно на 1, θ следва и да е по-голямо от минус π/2. Следователно по този начин, т.е. ако кажем, че θ принадлежи на този интервал тук, то имаме подходящо дефиниционно множество. Това е добър резултат, защото обикновено това е интервалът на функцията аркус синус. Тогава може да сме спокойни за крайния отговор. Друго важно нещо, което да забележиш, е, че разделихме на косинус от θ ето тук. Това обаче е допустимо, само ако косинус от θ е различно от 0, защото 0 не може да е в знаменател. Хубавото на това дефиниционно множество е, че доколкото θ е по-голямо от минус π/2 и по-малко от π/2, то косинус от θ ще бъде различно от 0, и дори ще бъде положителна стойност. Ако π/2 или минус π/2 бяха допустими за θ, то щеше да се получи 0 ето тук в знаменател и следваше да намерим друг начин да ограничим стойностите за θ. Следователно изглежда, че всичко е наред. Разгледахме подробно задачата. Уверихме се, че не сме направили нарушение на дефиниционното множество, или нещо друго недопустимо. Следователно може да сме спокойни, т.е. може да сме сигурни в отговора, до който достигнахме. За ето този отговор, който получихме.