Теорема за междинните стойности (теорема на Болцано)

В настоящия урок ще разгледаме Теоремата за междинните стойности (теорема на Болцано). Въпреки математическия език, ще видиш, че това е една от по-логичните теореми. Вероятно най-логичната теорема, която ще срещнеш през голяма част от своята математическа кариера. Първо ще я прочета, а след това ще я интерпретирам и надявам се ще се съгласим, че е сравнително очевидна. Тук няма да я доказвам. Но мисля, че концептуалната основа тук следва да е ясно разбираема. Теоремата ни казва, че имаме функция f, която е непрекъсната във всяка точка от затворения интервал, т.е. включително а и b. Следователно е непрекъсната във всяка точка от интервала [a; b]. Нека да начертая няколко примера за това как би могла да изглежда f, въз основа на тези първи редове от теоремата. Дадено е, че f е непрекъсната функция във всяка точка от интервала [a; b]. Нека да начертая едни оси тук. Това е оста y. А това е оста x. Един случай, ако това е a, а това е b. f е непрекъсната във всяка точка от интервала, т.е. от затворения интервал [a; b]. Това означава, че със сигурност ще е дефинирана във всяка точка. Разбира се, за да бъде непрекъсната, следва да бъде дефинирана във всяка точка. А границата на функцията, която се отнася за дадена точка, следва да бъде равна на стойността на функцията в същата точка. И така, функцията определено ще бъде дефинирана в точката f(a). Определено ще има f(a) точно ето тук. Това точно тук е f(a). Може би f(b) е по-високо. Въпреки че бихме могли да разгледаме различни случаи. Това ще бъде f(b). И ни казват, че е непрекъсната функция. Непрекъсната функция е. Ако се опитваш да си представиш непрекъснати функции, един начин да мислиш за това е, ако е непрекъсната в даден интервал, вземаме стойността на функцията в една точка от интервала. И ако е непрекъсната, следва да можем да стигнем до другата точка, т.е. до стойността на функцията в другата точка от интервала, без да повдигаме молива си. Следователно мога да правя каквито искам неща, но все пак трябва да бъде функция. Тоест, не мога да направя нещо такова. Но, доколкото не повдигам молива си, това е непрекъсната функция. Ето това е. Ако по някакъв начин на графиката трябваше да повдигам молива си, т.е. ако трябваше да направя нещо такова и да повдигам молива си по подобен начин, тогава вече не е непрекъсната. Ако трябваше да правя нещо такова и, хоп, повдигам молива си, вече не е непрекъсната. Ако трябваше да направя нещо като охо! О, добре, повдигам молива си и слизам ето тук, то вече не е непрекъсната. Следователно това е как една непрекъсната функция или функция, която е непрекъсната в затворения интервал [a; b], следва да изглежда. Всъщност мога да начертая и някои други примери. Нека да го направя. Нека да начертая една... Може би f(b) е по-малка стойност от f(a). Ето това е моята ос y. А това е моята ос x. Още веднъж, a и b не е нужно да са положителни и двете. И двете могат да са отрицателни. Едната може да бъде, например а може да е отрицателна. b може да е положителна. И може би имаме такава ситуация. А f(a) и f(b) също може да са положителни или отрицателни. Но нека вземем случай, където това е f(a). Това точно ето тук е f(a). Това точно ето там, е f(b). f(b). И още веднъж, казваме, че f е непрекъсната функция, Следователно трябва да мога да стигна от f(a) до f(b), до f(b) като чертая функция, без да трябва да повдигам молива си. Може би прави нещо такова. Всъщност искам да я направя вертикална. Би могла да прави нещо такова, а след това да слиза надолу. И тогава да прави нещо такова. Това са два случая, а аз мога да начертая безкраен брой примери, където f е непрекъсната функция във всяка точка от интервала. Затвореният интервал [a; b]. Като имаме дадено това, съществуват два начина да заявим заключението от теоремата за междинните стойности. Виждаш го написано по един от тези начини или нещо близо до един от тези начини. Ето защо включих и двете точки. Един начин да го кажеш, е ако това първо твърдение е вярно, то f преминава през всяка стойност между f(a) и f(b) в интервала. И виждаш и двата от тези случаи, всеки интервал. Извинявам се, всяка стойност между f(a) и f(b). През всяка стойност тук е преминато в даден момент. Може да избереш някаква стойност. Може да избереш някаква стойност. Произволна стойност L точно ето тук. О, виж. L се получава ето там. Ако избереш L, то L се получава ето тук. И всъщност се получава там, а също и там. И тази втора точка описва теоремата за междинните стойности по този начин. За всяко L между стойностите f(a) и f(b) съществува число C в затворения интервал [a; b], за което f(C) = L. Съществува поне едно C. В този случай това ще бъде нашето C. Ето тук има потенциал за множество кандидати за C. Това може за е кандидат за C. Това може да е C. Можем да кажем, че съществува поне едно число. едно число. Ще поставя това там. Съществува поне едно число C в интервала, за което това е вярно. А нещо, което може да те разсмее за няколко минути, е да се опиташ да начертаеш функция, за която първото твърдение е вярно. А второто по някакъв начин не е вярно. Казваш си, добре, нека да предположа, че съществува L, за което няма C в интервала. Нека да се опитам да направя това. И ще го направя толкова голямо, че да може реално да видим колко е очевидно, че трябва да преминем през всички стойности между f(a) и f(b). И така, нека да начертая една голяма ос този път. Това е моята ос y. A това е моята ос х. Ще направя случая, където това е опростено, ето това е a, а това е b. И нека да кажем, че това е f(a). Това е f(a). И нека да кажем, че това е f(b). Малка пунктирана линия. Добре. f(b) Предполагаме, че имаме непрекъсната функция тук. Графиката мога да начертая от f(a) до f(b), или от тази точка до тази точка, без да повдигам молива си. От тази координата (a; f(a)) до тази координата (b; f(b)), без да повдигам молива си. Нека да предположим, че има някакво число L, през което не преминаваме. Нека да кажем, че има някаква стойност L ето тук. И никога не преминаваме през тази стойност. Тази непрекъсната функция никога не минава през тази стойност, когато стигаме от x = a до x = b. Нека да видим дали мога да начертая това. Нека да видя дали мога да стигна от тук до тук, без реално да пресичам тази прекъсната линия. Добре, бих могъл, охо! Може би ще успея за малко. Виж ти, как да стигна до там? И то без да повдигам молива си. Е, действително трябва да пресека тази линия. Добре. Ето, че го направих. Открих, че преминах през стойността L и това се случи в точката C, която е в този затворен интервал. Още веднъж, не ти давам доказателство тук. Но надявам се, че схвана логиката, че теоремата за междинните стойности има смисъл. Ключовото е, че става дума за непрекъсната функция. Ако направиш графиката ѝ и ако трябваше да я начертаеш между координатите (a; f(a)) и (b; f(b)), и не повдигаш молива си, това ще бъде вярно за непрекъсната функция. Тя ще премине през всяка стойност между f(a) и f(b).