Граници при безкрайност на частни от функции (част 1)

Даденa е функцията f(x) = (4х⁵ - 3x² + 3) / (6х⁵ - 100x² - 10). Да помислим каква е границата на f(x), когато х клони към безкрайност? Има няколко начина, по които да мислим за това. Можеш директно да заместиш х с все по-големи числа и да видиш дали функцията се доближава до някакво число. Също можеш и да разсъждаваш. Като казвам разсъждение, имам предвид да изследваме поведението на числителя и знаменателя, когато х става наистина много голямо. Става въпрос за огромни числа. Но нека засега се фокусираме върху числителя. Когато х става много голямо, първият член в числителя, 4х⁵, ще стане много по-важен от другите два члена. Нещо на квадрат е голямо, но на пета степен става много по-голямо, много по-бързо. Аналогично и в знаменателя, членът с най-голяма степен, 6х⁵, ще расте много по-бързо от останалите. Дори въпреки този коефициент от –100, когато повдигнем х на пета степен, то расте много по-бързо от х на втора. Значи, когато х става наистина много голямо, този израз ще е близък до 4х⁵ върху 6х⁵, за наистина огромни х. Можем да кажем, когато х се стреми към безкрайност. До какво се опростява това? Имаме х⁵ делено на х⁵. Те растат с еднаква скорост. Можем да си представим, че се унищожават. Остава ни само коефициентът 2/3. Можем да кажем, че границата на f(x) при х, клонящо към безкрайност, когато х става все по-голямо и членовете с малка степен не са вече от значение, ще бъде 2/3. Сега да видим дали това се връзва с графиката? Това, което намерихме току-що, се изразява графично с хоризонтална асимптота в у = 2/3. Да погледнем графиката. Ето я. Получих я от сайта Wolfram Alpha. Виждаме, че наистина, когато х става все по-голямо, f(x) се стреми към това число, което изглежда е някъде около 2/3. Изглежда, че имаме хоризонтална асимптота ето тук. Ще я начертая малко по-точно. Хоризонталната асимптота се намира на 2/3 единица. Ще опитам пак, за да е добре. Ето тук е у = 2/3. Границата на функцията, когато х се стреми към безкрайност, е равна на 2/3. Само като гледаме графиката виждаме, че същото се случва и от другата страна, когато х клони към минус безкрайност. Можем да кажем също, че границата на f(x), когато х клони към минус безкрайност, също изглежда да е 2/3. Можем да използваме същите разсъждения. Когато х става отрицателно число с много голяма абсолютна стойност, тоест, когато се намира все по-наляво по числовата ос, единствените членове от значение ще са тези с пета степен. Това важи както за много големите стойности на х, така и за много малките, тези с отрицателен знак. Казваме, че когато х клони към минус безкрайност, това също е вярно. Тук също х на пета ще се съкратят от числителя и знаменателя. Остават само старшите коефициенти. Тяхното частно е 2/3. Отново виждаме това и на графиката: имаме хоризонтална асимптота при у = 2/3. Взехме границата на f(x) при плюс безкрайност и получиме 2/3. Границата при минус безкрайност също е 2/3. Да обобщим, когато имаме такава ситуация, е важно да видим кои са старшите членове и да се фокусираме само на тях.