Определяне на граници чрез разлагане на множители

Имаме функцията f(x) = х^2 + х – 6 делено на х – 2. Интересуваме се от границата на f(x) при х, клонящо към 2. Първото, което може да опиташ, когато видиш такава задача, е да видиш колко е f от 2. Не винаги това ще е границата, дори да е определено число, но е добра отправна точка, за да започнем с разсъжденията. Затова нека първо намерим f(2). В числителя има 2 на квадрат плюс 2 минус 6. Това е 4 плюс 2, или 6, минус 6. В числителя получаваме 0. В знаменателя също има 0. Това значи, че функцията не е определена за х = 2. Имаме неопределеност. Значи решението е малко по-сложно. Дори и тук да се беше получило крайно число, може би границата щеше да е равна на функцията, но това пак не е задължително. А в нашия случай се вижда ясно, че функцията дори не е определена тук. Затова да опитаме да опростим израза и да начертаем графиката. Първото нещо, за което може би се сещаш, е да разложиш на множители израза отгоре. Това значи да преобразуваме израза в числителя. Ще използваме основна алгебра. Търсим две числа, чието произведение е –6 и сборът им е +3. Това може да са 3 и –2. Тук може да стане х + 3 по х – 2, цялото върху х – 2. За всички числа, освен за х = 2 тези два множителя се съкращават взаимно. Можем да кажем, че това е равно на х + 3 за всички стойности на х, освен за х = 2. Това е един начин на мислене. Можем да преобразуваме алгебрично функцията f(х), ще го направя със син цвят, като еквивалентна функция f(х) = х + 3, когато х е различно от 2. Можем да добавим, че е неопределено за х=2. От това определение става много по-ясно как да начертаем графиката на f(х). Нека опитаме. Искам да начертая права линия. По оста у имаме у=f(х). А ето тук, по тази хоризонтална ос е оста х. По това определение f(х) е равно на х + 3. Пресечната точка с оста у е на 3 единици нагоре, а ъгловият коефициент (наклонът) е 1. Функцията е дефинирана за всички числа, освен за х = 2. Значи тук имаме х = 1, а тук е х = 2. За х = 2 функцията е неопределена. Ще го обознача с това кръгче. Тук е неопределена. Ето така изглежда графиката на f(x). Като знаем това, да отговорим на въпроса. Колко е границата на f(х), когато х клони към 2? Можем да я потърсим графично. Когато х се стреми към 2 откъм по-малките числа, без да стига до самата неопределена точка в х = 2, например при х = 1,7 нашето f(х) е тук. За х = 1,9 f(х) идва тук. Изглежда, че функцията се стреми към тази стойност. По същия начин, като доближаваме 2 отгоре, можем да започнем от х = 2,5 и функцията ще е тук. Като се доближим още до 2 f(х) идва ето тук. И отново се доближава до същото число. По друг начин казано, ако прокараме тази линия откъм положителната посока, изглежда се доближаваме до тази стойност на f(х). Движейки се по правата от отрицателната посока, откъм по-малките от 2 числа, изглежда функцията се стреми към същата стойност тук. Тя на практика е равна на х + 3 за х = 2. Тази стойност тук е равна на 5. Тъй като мислим графично, начертали сме графиката с наклон 1 и пресичаща оста у в 3, то тази стойност тук е 5. Сега можем да опитаме да намерим това и числово. Нека опитаме. Това е дефиницията на нашата функция, напълно еквивалентна на оригиналната дефиниция, остава да я изчислим за стойности на х, ставащи все по-близки до 2. Първо да опитаме с по-малки от 2. Почти очевидно е за х = 1,9999, че се получава 1,9999 + 3, това е доста близо до 5. Ако сложа още деветки тук, се приближавам още повече до 2, а функцията става все по-близка до 5. Ако доближим 2 от положителната посока, отново се приближаваме все повече до 5 от положителната посока. Колкото по-близо сме до 2, толкова функцията е по-близо до 5. Независимо дали използваме числения или графичния метод, става ясно, че тази граница е равна на 5.