Намиране на граници чрез разлагане на множители (изрази от трета степен)

Да намерим границата, когато х клони към 1 на( х^3 – 1) върху (х^ 2 – 1). Най-напред, когато опиташ да заместиш х = 1, получаваш 0 върху 0, 1 минус 1, върху 1 минус 1. Това не ни помага. Да видим дали можем да опростим по някакъв начин. Може би веднага забелязваш... ще препиша този израз ето тук, (х^3 – 1) върху (х^2 – 1). В знаменателя веднага разпознаваме разлика на квадрати. Знаем, че знаменателят може да се представи като (х – 1)(х + 1). Ако и това отгоре може някак да изнесем (х – 1), тогава това (х – 1) ще се съкрати с това, и после няма да имаме проблем с деленето на нула. Причината да се интересувам от члена (х – 1) е тази, че той именно прави знаменателя ни равен на 0. Когато кажем, че х = 1, имаме (1 – 1) по (1 + 1). Значи 0 по 2, това е тази 0, заради която знаменателят става 0. Ако тук отгоре имаме (х – 1), тогава тези ще се съкратят за всяко х, различно от 1, и тогава ще търсим границата на един много по-прост израз. Да помислим дали (х^3 – 1) е произведение на (х – 1) и още нещо. За да установим това, можем да използваме алгебрично деление. Може би веднага ще забележиш модела – но да се опитаме... да разделим на (х – 1) и да видим дали се съдържа без остатък в (х^3 – 1). Значи (х – 1)... гледаме члена с най-високата степен – х се съдържа x^2 пъти в х^3. Съдържа се x^2 пъти. Всъщност ще поставя чертички, за да можем да следим степените. Значи това ще бъде х на квадрат, мястото на х на втора степен, мястото на х на първа степен, и после ще имаме константа. Значи (х^3 – 1). х се съдържа х^2 пъти в x^3. х^2 по х е равно на х^3. х^2 по –1 е –х^2. И сега ще извадя това. Остава ни х^2. х се съдържа х пъти в х^2. х по х^2. х по –1 е –х. Отново вадим това. Ще разменя знаците, отрицателен и положителен. Тези се съкращават и ни остава х. После сваляме надолу –1. (х – 1) се съдържа в (х – 1) точно веднъж. 1 по (х – 1) е равно на (х – 1). После изваждаме и не получаваме остатък. Значи числителят ето тук може да се разложи като (х – 1) по (х^2 + х + 1). Можеш да кажеш, че това е съвсем същото нещо. Тогава тези могат да се съкратят, ако приемем, че х е различно от 1. Така че това е равно на (х^2 + х + 1) върху (х + 1), когато х е различно от 1. Това е много добре, защото няма да го смятаме за х = 1, а когато х клони към 1. Това е равно на границата, когато х клони към 1 на (х^2 + х + 1) върху (х + 1). Сега тази граница може да се намери много по-лесно. Буквално можеш да кажеш: "Какво става, когато стигнем точно в х = 1?" Тогава ще имаме 1^2, което е 1, плюс 1, плюс 1, което е 3, върху 1 плюс 1, което е 2. Получаваме, че границата е равна на 3/2.