Връзка между граници на функция и поведение на графиката (още примери)

Тук имаме графиката на функцията f(x). Налице са и няколко твърдения относно границата на f(x), при х, клонящо към различни стойности; и целта ни е да намерим кои от твърденията са верни и кои - не. Нека погледнем първото твърдение: границата на f(x) при х, клонящо към едно от положителната посока, е равна на нула. Вярно ли е това или не? Нека погледнем. Говорим за случая, в който х клони към едно от положителната посока, т.е. за стойности, по-големи от едно. И при положение, че х клони към едно от положителната посока, на какво е равно f(x)? Ами, когато х е, да кажем, едно и половина, f(x) е тук горе; когато х се приближава все повече и повече до едно, f(x) е строго фиксирано на едно. Така че когато х клони към едно от положителната посока то прилича на граница на f... ... прилича на граница на f(x) при х, клонящо към едно от положителната посока, не към нула -прилича на едно. Така че това не е, това не е вярно. Щеше да е вярно ако вместо казаното за положителната посока, бяхме казали от отрицателната посока: от там функцията наистина, наистина изглежда така, сякаш... ...стойността на функцията наистина изглежда така, сякаш клони към нула. Защото при клонящо х от отрицателна посока, когато х се намира тук, това е f(x)... ...когато х е тук, това е f(x)... ...когато х е тук, това е f(x). И виждаме, че стойността на f(x), изглежда се приближава все повече и повече до нула. Така че това ще е вярно ако приближаването става от отрицателната посока. Следващият въпрос е: Границата на f(x) при х, клонящо към нула от отрицателната посока е равна на границата на f(x) при х, клонящо към нула от положителната посока. Това твърдение вярно ли е? Е, нека погледнем: имаме функцията f(x), при х, клонящо към нула от отрицателната посока - използвам нов цвят - като приближаваме нула от отрицателната посока. Така че тук, това е стойността на f(x), и тогава, като се приближаваме, това е нашата стойност на f(x), като се приближаваме още повече, това е стойността на f(x). Така че изглежда, че от отрицателната посока клоним към плюс едно; от положителната посока, когато х е по-голямо от нула: нека пробваме. Така, ако, да кажем, х е една втора, това тук е f(x), ако х е, да кажем една четвърт, това е f(x). Ако х е само по-голямо от нула, това е f(x). Така че изглежда има приближаване и към f(x)...f(x) е равно на едно. И това изглежда да е вярно: при двата примера клонят към едно. Границата тук е едно, така че е напълно вярно това. Нека сега погледнем това твърдение: границата на f(x) при х, клонящо към нула от отрицателна посока, е равна на едно. Ами, вече говорихме за това. Границата на f(x) при х, приближаващо се от отрицателната посока... ...границата на f(x) при х, клонящо към нула от отрицателната посока, виждаме, че се приближаваме все повече и повече до едно; като х се приближава все повече и повече към нула, f(x) се приближава все повече и повече към едно, така че и това е вярно. Съществува границата на f(x) при х, клонящо към нула. Тя определено съществува - вече установихме, че тя е равна на едно, така че това е вярно. Сега, границата на f(x), при х, клонящо към едно, съществува - вярно ли е това? Ами, вече видяхме, че когато имаше приближаване към едно от положителната посока, границата изглежда, че клони към едно; получаваме, че когато х е 1/2, f(x) е едно, когато х е малко по-голямо от едно, тогава е едно. Така че изглежда се приближаваме все повече и повече до едно. (Нека го запиша това) Границата на f(x) при х, клонящо към едно от положителната посока е равна на едно. И сега каква е границата... ...границата на f(x) при х, клонящо към едно от отрицателната посока? Ето, тук, това е нашата f(x)... Това тук е нашата f(x)... Изглежда нашата f(x) се приближава все повече и повече до нула, когато сме близо до едно, от стойности, по-малки от едно. Така че тук е равно на нула. И ако границата отдясно е с различна стойност от границата отляво, тогава такава граница не съществува. Т.е. това не е вярно. Така, накрая, границата f(x) при х, клонящо към 1,5 е равна на едно. Ето тук. Така че всичко, с което досега се занимавахме, винаги сме гледали точките на прекъсване или точките, в които функцията вероятно не е много определена. Но това тук е основен момент; когато х е равно на 1,5, това може би е тук. Това е f(1,5); това там е точката... И това е стойността f(1,5). Можем да кажем f от... Можем да видим, че f(1,5) е равно на едно. Тук виждаме точката (1,5;1), и ако я приближим отляво, от стойностите, които са по-малки от нейната, тя е едно, границата, изглежда, е едно, и ако се приближим отдясно, границата изглежда да е едно. Така че това е нещо доста понятно. Там графиката е непрекъсната, и ако реално просто заместим в тази точка, или само ако погледнем графиката, границата представлява стойността на функцията там. Не е нужно да имаме неопределена функция, за да определим граница там. Това определено е случаят, в който границата на f(x), при х, клонящо към 1,5 е равна на едно.