Отстраними точки на прекъсване (разлагане на множители)

Функцията f(x) е равна на 6х² + 18х + 12 върху х² – 4 и е неопределена за х равно на плюс или минус 2. Виждаме защо е така, когато х е равно на +/– 2, то х² ще е равно на +4 и като извадим 4, ще получим нула в знаменателя. Това е неопределеност. Няма да знаем какво ще се получи, тъй като не сме дефинирали деление на 0. Пита се каква стойност може да се зададе на f(–2), за да стане функцията f непрекъсната в тази точка? За да помислим над това, нека първо опростим f(x). Просто ще го преобразувам, като опростявам в движение. В числителя мога да изнеса 6 пред скоби, има го във всеки от членовете: това е 6 по, в скобите остава х² + 3х + 2. А в знаменателя имаме разлика от квадрати. Това е (х + 2) по (х – 2). После можем да разложим този израз на множители. Това е равно на 6 по... ще използвам различен цвят... Имаме две числа, чието проиведение е 2, а сборът им е 3. Най-очевидната двойка такива числа е 2 и 1. И така, числителят е 6 по (х + 2) по (х + 1). Да проверим, като умножим обратно ще получим х² + 3х + 2, вярно е. Всичко това е разделено на (х + 2) по (х – 2). Дадено ни е, че х е различно от –2. Затова можем да разделим и числителя, и знаменателя на х + 2. Причината да уточня това ограничение е, че ако х можеше да е равно на –2, тогава х + 2 щеше да има стойност 0 и такова съкращаване да е невъзможно. Нямаше да става. Знаем до какви неприятности води делението на нула. Но тук можем смело да опростим, като разделим числителя и знаменателя на х + 2 с уточнението, че х е различно от –2. Нашата функция, след като разделим на х + 2 в числителя и в знаменателя, стана равна на 6 по (х + 1) върху (х – 2). Трябва да добавим и граничението, защото променихме функцията. Този израз тук вече е напълно дефиниран за х = –2 и за да е еквивалентен на оригиналната функция, добавяме това ограничение, че х е различно от –2. Очевидно е, че х тук е различно и от 2. Този израз остава недефиниран за плюс 2, защото ще доведе до деление на 0. Можем да обобщим, че х е различно от +/–2, за да сме много точни. Но в задачата се пита каква стойност да дадем на f(–2), за да направим функцията непрекъсната в тази точка? Получихме, че функцията е напълно еквивалентна на този израз, с тази разлика, че не е дефинирана за х = –2. Затова и трябваше да сложим ограничението, за да направим израза еквивалентен на оригиналната функция. Но за да предефинираме функцията, за да стане непрекъсната в тази точка, то трябва да зададем f(x) да е равно на стойността на този израз, когато х е равно на –2. Да помислим за това. Ще имаме 6 по (–2 + 1) върху (–2 – 2). Това е равно на 6 по –1, което е –6, върху –4. Това е 3/2. За да допълним дефиницията на f(x), ще кажем, че f(x) = 6x² + 18x + 12 върху х² – 4 за всяко х, различно от +/–2 и f(x) = 3/2 за х = –2. Сега тази функция ще е същата като тази тук. Новата f(x) има нова, разширена дефиниция, която е еквивалентна на израза 6 по (х + 1) върху (х – 2). Точният отговор на поставения въпрос „каква стойност да зададем на f(–2), за да бъде f(x) непрекъсната в тази точка?‟ ще бъде f(–2) = 3/2.