If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Въведение в теоремата за двамата полицаи (старо)

Едно по-старо видео, в което Сал ни запознава с теоремата за двамата полицаи и нейното значение. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В това видео ще ти докажа, че границата на синус от х върху х, когато х клони към 0, е равна на 1. Но преди да го направя, преди да навляза в тригонометрията, ще разгледам друг аспект от границите. Това е "теоремата за двамата полицаи". Защото след като разбереш какво представлява тази теорема, можеш да я използваш, за да докажеш това. Всъщност това е доста всеобщо обяснение, но мисля, че ще го намериш за доста ясно и лесно, ако го разбереш. Ако не го разбереш, може би просто ще искаш да го запомниш наизуст. Защото това е доста полезно да се знае, когато по-късно ще изчисляваме производни на тригонометричните функции. Какво представлява теоремата за двамата полицаи? Това е любимата ми теорема в математиката, може би защото съдържа думата полицаи. Теорема за двамата полицаи. Когато я прочетеш в учебниците по математически анализ, тя изглежда много сложна. Не знам кога ще я срещнеш -- в учебниците по математически анализ или в тези по въведение към математическия анализ. Тя изглежда изцяло сложна, но това, което гласи, е честно казано доста очевидно. Нека ти дам един пример. Ако ти бях казал, че аз винаги -- Сал винаги яде повече от Умама. Умама е съпругата ми. Ако ти бях казал, че това е вярно, че Сал винаги яде повече от Умама. И ти бях казал също, че Сал винаги яде по-малко от -- не знам нека измисля някакво име -- от Бил. За всеки даден ден -- нека кажем, че това е даден ден. Сал винаги яде повече от Умама във всеки един ден и Сал винаги яде по-малко от Бил във всеки един ден. Сега ако ти бях казал, че във вторник Умама е изяла 300 калории и че във вторник Бил е изял 300 калории. Въпросът ми към теб е колко калории е изял Сал или колко съм изял аз във вторник? Аз винаги ям повече от Умама -- по-голямо или равно на Умама -- и винаги изяждам по-малко или равно на Бил. Тогава във вторник трябва да съм изял 300 калории. Това е същността на теоремата за двамата полицаи, като ще ти я покажа малко по-официално. Но тя по същество гласи, че ако винаги имам по-голямо от едно нещо и винаги имам по-малко от друго нещо, и ако в даден момент тези две неща са равни, тогава трябва просто да имам равно на тези две неща. Един вид съм стиснат между тях. Винаги се намирам между Умама и Бил и ако те са точно в една и съща точка във вторник, тогава аз трябва да съм също в тази точка. Или поне трябва да клоня към нея. Нека го напиша с математически термини. Всичко, което гласи, е, че в рамките на някакво дефиниционно множество, ако кажа, че g от х е по-малко или равно на f от х, което е по-малко или равно на h от х в рамките на някакво дефиниционно множество. Знаем също, че границата на g от х, когато х клони към а, е равна на някаква граница, главна буква L и знаем също, че границата, когато х клони към а, на h от х е също равна на L. Тогава теоремата за двамата полицаи ни казва -- като няма да я доказвам точно сега тук, но е добре просто да разбереш за какво се отнася -- теоремата за двамата полицаи ни казва, че границата, когато х клони към а, на f от х трябва също да бъда равна на L. Като това е едно и също нещо. Това е пример, при който f от х -- това може да е колко изяжда Сал в даден ден, това може да е колко изяжда Умама в даден ден, а това е Бил. Аз винаги ям повече от Умама или по-малко от Бил. Тогава във вторник може да кажеш, че а е вторник, ако Умама е изяла 300 калории и Бил е изял 300 калории, тогава аз също ще съм изял 300 калории. Нека го начертая. Нека го начертая, като ще използвам различен цвят. Теорема за двамата полицаи. Теорема за двамата полицаи. Добре, нека начертая точката (а; L). Точката (а; L). Нека кажем, че това е а, това е точката която ни интересува. А това е L. Знаем, че g от х е по-ниската функция, нали? Нека кажем, че това зеленото нещо ето тук е g от х. Това е g от х. Знаем, че когато g от х клони към -- g от х може да изглежда по подобен начин, нали? Знаем, че границата, ако х клони към а, на g от х е равна на L. Точно ето там. Това е g от х. Това е g от х. Нека начертая h от х с различен цвят. h от х може да изглежда по подобен начин. Ето така. Това е h от х. И знаем също, че границата, когато х клони към а, на h от х -- това е функцията на оста х. Можем да я наречем h от х, g от x или f от x. Това е просто зависимата ос, а това е оста х. Още веднъж границата, когато х клони към а, на h от х в тази точка там, h от а е равно на L. Или поне границата е равна на това. Нито една от тези функции всъщност няма нужда да бъде определена в а, стига тази граница да съществува и тази граница да съществува. Като това също е важно нещо, което трябва да се помни. Какво ни казва това? f от х е винаги по-голяма от тази зелената функция. Тя винаги е по-малка от h от х, нали? Всяка една функция f от х, която чертая, ще бъде между тези двете, нали? Без значение как съм я начертал, ако трябваше да начертая функция, тя ще бъде ограничена от тези две функции просто по определение. Тя трябва да минава през тази точка. Или поне трябва да клони към тази точка. Може би не е определена в тази точка, но границата, когато клоним към а, на f от х също трябва да бъде в точка L. Може би f от х няма нужда да бъде определена там, но границата, когато клоним натам, ще бъде L. Дано с това добиеш някаква представа и дано примерът ми за калориите да са обяснили това малко. Нека да не забравяме това, теоремата за двамата полицаи. Сега ще я използвам, за да докажа, че границата, когато х клони към 0, на синус от х върху х, е равна на 1- Искам да го направя първо, защото това е една много полезна граница. И второ, защото някога ще учиш теоремата за двамата полицаи и ще си кажеш, че това е очевидно, но кога ще ми е от полза? Като ние ще видим това. Всъщност ще го направя в следващото видео, тъй като вече стигаме 8 минути. Но в следващото видео ще видим, че теоремата за двамата полицаи е страшно полезна, когато се опитваме да докажем това. Ще се видим в следващото видео.