Сбор на n квадрати (част 1)

В това видео искам да намерим формула за намиране на сумата от i^2 за i от 0 до n. Мога да развия тази сума, тя е равна на 0^2 плюс 1^2, плюс 2^2, плюс 3^2, и продължаваме така до n^2. Целта ми е да намеря някакъв вид функция, така че когато ми дадеш стойност за n, аз да мога да намеря сумата от 0^2 плюс 1^2, 2^2 и така нататък до n^2. Вероятно се досещаш, че това би било практично, защото може да смятаме по този начин, когато n е достатъчно малко, но когато n е голямо число, това ще ни отнеме цяла вечност. Първо да разгледаме тази сума. Да видим какво имаме на входа и на изхода на функцията. На входа ще е нашето n. Тук започваме с... n може да е от 0 до... можем да пробваме с различни стойности. n може да е нула. Можем да тръгнем от 0 и да стигнем до 0. n може да е 1. n може да е 2. n може да е 3. И може да продължим по същия начин до безкрай. Но засега ще спра дотук. Всъщност да отидем до 4, просто за забавление. Сега за всяка от тези входни стойности да видим какво имаме на изхода на нашата функция. На изхода на функцията трябва да имаме ето това. Трябва да получим сумата от I^2 за i от 0 до n. Когато n е 0, това е просто 0 на квадрат. Спираме още тук. Това е просто нула. Когато n е 1, това е 0^2 плюс 1^2. Значи това е 1. Когато n е 2, имаме 0^2 плюс 1^2 плюс 2^2. това е 1 плюс 4, което е 5. Когато n е 3, тук отиваме чак до 3. Това е 1 плюс 4, което е 5, плюс 9. 5 плюс 9 дава 14. Когато n е 4 трябва да добавим 16, това е 4^2, към тази сума. Така получаваме 30. Разбира се, можем да продължаваме по този начин. Да разгледаме това, за да видим какъв тип функция може за всяка от тези входни стойности да ни даде тези изходни стойности. Първо да разгледаме разликата между членовете. Разликата тук е 1. Тук разликата е 4. Това е очевидно. Тук добавяме 1. Тук добавяме 2^2. Тук добавяме 3^2 или 9. Тук добавяме 4^2 или 16. Причината да правя това е, че ако това е линейна функция, тогава разликата между съседните членове би била еднаква. Но когато това е квадратна функция, тогава разликата между разликите ще е постоянна. Да видим дали случаят е такъв. Тук разликата е 1. Тук разликата е 4. Значи разликата между тези две разлики е 3. Разликата тук е 5. Разликата тук е 7. Значи дори разликата на разликите нараства. Но ако това е кубична функция, тогава разликата на разликите на разликите ще бъде постоянна. Да проверим дали е така. Ще оцениш това още повече, когато започнеш да учиш математически анализ. Да видим. Разликата между 3 и 5 е 2. Разликата между 5 и 7 е 2. И така получаваме постоянно нарастване с 2. Фактът, че разликата на разликите от разликите е постоянна означава, че трябва да можем да изразим тази зависимост като някакъв вид кубична функция. Можем да запишем, че това трябва да е някаква функция спрямо n. Можем да го запишем като A по n^3 + B по n^2 плюс С по n плюс D. Сега можем да използваме тези входни и изходни стойности, за да намерим А, В, С и D. Препоръчвам ти да го направиш. Първа да помислим, когато n е равно на 0. Когато n е равно на 0, тази функция е равна на D. Значи тази функция има стойност D, но тази функция трябва да е 0, значи D трябва да е 0. Опитвам се да намеря какви са тези букви тук, така че да получа правилните резултати. Значи когато n е 0, този израз е D. Той трябва да е равен на 0, така че D трябва да е равно на 0. Следователно D е равно на 0, или можем да го игнорираме. Това ще ни помогне малко. Като използваме тази информация можем да преобразуваме и да получим този израз ето тук. Сега можем да вземем всяка от тези входни стойности и да изчислим съответните на тях изходящи стойности. Да го направим – аз ще го направя ето тук. Когато n е 1, това нещо е равно на... ще използвам нов цвят – когато n е равно на 1, този израз е равен на А по 1^3, което е просто 1, плюс В по 1^2, което е просто 1, плюс С по 1, което е просто С. И това трябва да е равно на 1. Сега, когато n е равно на 2, имаме А по n^3. Това е равно на 8А плюс 2^2, което е 4, плюс 4В, плюс 2С, което трябва да е равно на 5. Нужно ми е да съставя само три уравнения, за да мога да намеря трите неизвестни. Така че да видим за 3. А по 3^3, това е 27А, плюс 9В плюс 3С, това е равно на 14. Вече имаме три уравнения с три неизвестни. Сега само трябва да намерим А, В и С и ще получим обща формула за намиране на сумата ето тук, сумата от квадратите на първите n члена, ако мога да се изразя така. Ще прекъсна това видео дотук. Препоръчвам ти да опиташ да решиш самостоятелно тази система от уравнения. В следващото видео ще решим тази система.