Основни правила за диференциране: работа с таблични данни

Дадена ни е една интересна информация тук за функциите f, g и h. За f ни дават за определени стойности на х на колко е равно f от х и на колко е равно f прим от х. После ни дефинират g от х, използвайки тези изрази с абсолютни стойности. После ни дефинират h от х, използвайки f от х и g от х. Любопитни сме каква е производната спрямо х на h от х при х равно на 9. Насърчавам те да спреш видеото и да помислиш самостоятелно преди аз да го реша. Нека помислим малко. Друг начин да разчетем този запис е като производната на h от х спрямо х при х равно 9. Това е еквивалентно на h... трябва ми синия цвят. Това е еквивалентно на h прим. Прим отбелязва, че това е производната. h прим от х, когато х е равно на 9. Всъщност това е h прим от 9. Ще го направя в друг цвят. Това е h прим от 9. Нека помислим какво е това. Нека сметнем производната за двете страни на този израз, за да намерим каква е производната на h спрямо х. Получаваме производна... ще го напиша с бялото. Производната на h от х спрямо х ще е равна на производната спрямо х на всичко това. Просто ще препиша това. 3 по f(х), плюс 2 по g(x). Сега това тук. Производната на сбор от два члена ще бъде равна на сбора на производните на всеки член. Това ще е същото като производната спрямо х на 3 по...ще запиша това малко по-ясно. 3 по f(x) плюс производната спрямо х на 2 по g(x). Производната на число, или можем да го наречем скалар по функция... Производната на скалар по функция е същото нещо като скалар по производната на функцията. Какво означава това? Означава, че първият ни член ще бъде равен на 3 по производната спрямо х на f от х плюс тази част тук, която е 2... Добре, нека подсигуря, че няма да ми свърши мястото. Плюс 2 по производната спрямо х на g от х. Производната на h спрямо х е равна на 3 по производната на f спрямо х плюс 2 по производната на g спрямо х. Ако искаме да я запишем по този начин с прим, можем да запишеш h прим от х е равно на 3 по f прим от х. Следователно тази част тук е същата като f прим от х. Тя е 3 по f прим от х, плюс 2 по g прим от х. Когато свикнеш повече с тези свойства, че производната на сбор от две неща е равна на сбора на техните производни и че производната на скалар по нещо е същото като скалар по производната на същото нещо. Можеше директно да го направиш от тук до тук доста бързо. Защо това е интересно? Защото сега можем да пресметнем тази функция, когато х е равно на 9. h прим от 9 е същото като 3 по f прим от 9 плюс 2 по g прим от 9. Какво е f прим от 9? Производната на нашата функция f, когато х е равно на 9. Дадено ни е, че когато х е равно на 9, f от 9 е 1. Но по-важното е, че f` от 9 е 3. Тази част тук пресмята, че тази част е 3. Какво е g` от 9? Да погледнем тази функция малко по-отблизо. Можем да я разгледаме по няколко начина. Всъщност нека да направя чертеж. Мисля, че това ще е интересно. За да визуализираме какво става тук. Да кажем, че това е оста у, а това е оста х. Кога такава функция с абсолютна стойност ще достигне минимум? Абсолютната стойност на нещо винаги ще бъде положителна. Тя ще стигне минимум, когато това е равно на 0. Тогава кога това ще бъде равно на 0? Когато х е равно на 1, това ще е равно на 0. Достигаме минимум, когато х = 1 и когато х = 1, този член е 0. Абсолютната стойност на 0 е 0. g(1) е 1. Имаме тази точка тук. Какво става след това? Какво се случва при х > 1? Всъщност нека запиша това. g(x) е равно на... и като цяло когато имаме функция с абсолютна стойност, относително проста абсолютна стойност като тази, можем да я разделим на две функции. Или можем да я разгледаме в различни интервали: когато абсолютната стойност е положителна и когато е отрицателна. Когато абсолютната стойност е положителна, тогава х е по-голямо или равно на 0. Когато абсолютната стойност не е отрицателна... Ако взимаме абсолютна стойност на положително число, то ще остане същото число. Абсолютната стойност на 0 е 0. Абсолютната стойност на 1 е 1. Абсолютната стойност на 100 е 100. Тогава можем да игнорираме абсолютната стойност за х по-голямо или равно на... не по-голямо или равно на 0, а за х по-голямо или равно на 1. Ако х е по-голямо или равно на 1, това нещо тук е положително. Ще се получи х минус 1. Това ще бъде х минус 1 плюс 1. Което е същото като само х. Минус 1 и плюс 1 се съкращават. Когато този член тук е отрицателен, а това ще се случи при х по-малко от 1, тогава абсолютната стойност ще бъде противоположната. Когато имаме абсолютната стойност на отрицателно число, то ще стане положително. Абсолютната стойност на –8 ще бъде 8. Ще се получи така, че отрицателното х – 1 е 1 минус х, плюс 1. Можем да запишем и 2 минус х. При х по-голямо и равно на 1 ще разглеждаме този израз. Какъв е неговият наклон? Наклонът е 1. Ще имаме крива, която изглежда... или по-скоро права, която изглежда така. За всяко х по-голямо или равно на 1. Важното нещо... Запомни, че ще разглеждаме наклона на допирателната, когато говорим за производната на g. Наклонът е равен на 1. При х по-малко от 1... ако погледнем тук... нашият наклон е –1. Ще изглежда така. Ще изглежда така. Но всъщност, ако разглеждаме g прим от 9, значи 9 е някъде тук, какво е g прим от 9? g прим от 9, нека изясня. Тази графика тук, това е графиката на g от х. Можем също да кажем, че това е графиката y = g(x). у равно на g(x). Какво е g прим от 9? Това е наклонът, когато х е равно на 9. Наклонът ще бъде равен на 1. g прим от 9 е 1. На колко е равно това? Това ще бъде 3 по 3. Следователно тази част ще е 9 плюс 2 по 1, плюс 2, което е равно на 11. Наклонът на допирателната към h, когато х е равно на 9 е 11.