Основни правила за диференциране: намери грешката

Имаме два примера как някой се е опитал да намери производната на някакъв израз. От лявата страна пише: "Ейвъри се опитала да намери производната на 7 минус 5х, използвайки основните правила за диференциране. Това е нейното решение." А от дясната страна пише: "Хана се опитала да намери производната на –3 плюс 8х, използвайки основните правила за диференциране. Това е нейното решение." Това са два различни примера от упражнения върху правилата за диференциране в Кан Академия. И реших да ги направя едно до друго, защото се питаме какво тези хора правят правилно и какво грешно. Това са сходни изрази. Имаме константа и после 5член на първа степен. Константа и после член на първа степен. Следователно те намират производната. Да видим първата стъпка на Ейвъри. Тя смята отделно производната на 7 и отделно производната на 5х. И тук се задейства моето шесто чувство. Какво стана с този минус? Щеше да е логично да намери производната на 7 и после да извади производната на 5х. Това е единият вариант. Производната на разлика е равна на разликата на производните. Това свойство сме го виждали. А можеше и да каже, че това е равно на производната на 7 плюс производната на –5х Тези две неща щяха да са еквивалентни на това. Но тук тя е забравила да включи минуса. Затова мисля, че тя има грешка още в стъпка 1. Ако следваме логиката ѝ след стъпка 1, да видим дали е направила и други грешки. Тя намира производната на константа. Константата няма да се промени спрямо х. Логично е производната ѝ да е 0. И все още имаме производната на 5х, но запомни, че трябваше да е –5х или минус производната на 5х. Да видим какво прави след това. Тази нула изчезва. Тук тя изважда константата, което е вярно. Производната на константа по нещо е равна на константата по производната на това нещо. Тогава тя намира производната на х спрямо х, която е 1 и това е вярно. Ако бяхме начертали y=x, наклонът щеше да е 1. Или каква щеше да е скоростта на изменение, при която у се променя спрямо х? Щеше да е 1 към 1. Затова наклонът тук е 1. Следователно това ще бъде 5 по 1, което е равно на 5. Накрая питат: При коя стъпка е объркала Ейвъри? Очевидно е объркала в Стъпка 1. Това тук трябва да е минус. Това е отрицателно, тогава това щеше да бъде отрицателно, и това щеше да бъде отрицателно. И това щеше да бъде отрицателно. Крайният ѝ отговор трябваше да бъде –5. Сега нека се върнем при Хана, за да видим дали тя е направила някакви грешки и къде. Тя диференцира подобен израз. Първо смята производната на константата плюс производната на члена от първа степен. Производната на константа е нула, дотук добре. Получаваме 0, а после взимаме производната на члена със степен едно. Това се опитва да намери тя. После... Тя смята... Това не изглежда както трябва. Тя предполага, че производната на произведение е равно на произведението от производните. Не е такъв случаят. Особено ако имаме константа тук. Всъщност има много по-прост начин. Както го беше направила Ейвъри. Ейвъри имаше грешка в Стъпка 1, а това всъщност ще е равно на... Производната на константа по израз е равно на константата по производната на израза. Това щеше да е правилният начин, а производната на х спрямо х щеше да е 1. Следователно всичко това се свежда до 8. Тя е предположила... Тя се е опитала да сметне производната на 8 и да я умножи по производната на х, което не е правилният начин. В бъдеще ще научиш нещо, наречено правилото за произведение, но дори не се налага да го прилагаш тук, защото един от тези компоненти е константа. Следователно това е грешната стъпка. Хана е направила грешка тук. И виждаш, че вместо да получи за краен отговор 8, тя получава... Предполага, че производната на 8 е 0, по производната на х, която е 1... 0 по 1 и получава 0, което не е верният отговор. Следователно тя прави грешка в стъпка 3, а Ейвъри прави грешка в стъпка 1.