Основно съдържание
Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017)
Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 2
Урок 20: Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция- Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция
- Решен пример: Намиране на производната на функцията cos³(x) с помощта на правилото за диференциране на сложна функция
- Решен пример: диференциране на ln(√x) като сложна функция
- Решен пример: Намиране на производната на функцията √(3x²-x) с помощта на правилото за диференциране на сложна функция
- Въведение в правилото за диференциране на сложни функции
- Правило за диференциране на сложна функция (преговор)
- Решен пример: Прилагане на верижното правило при зададени таблични данни за функцията
- Прилагане на правилото за диференциране на сложна функция при зададени таблични данни
- Доказателство на правилото за диференциране на частно на две функции
- Правилото за диференциране на сложна функция и правилото за диференциране на степени
- Използване на правилото за диференциране на сложна функция при графично зададена функция 1 (старо)
- Използване на правилото за диференциране на сложна функция при графично зададена функция 2 (старо)
- Използване на правилото за диференциране на сложна функция при графично зададена функция 3 (старо)
- Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Правило за диференциране на сложна функция (преговор)
Кратък преговор върху правилото за диференциране на сложна функция.
Въведение
Дадени са две функции f, left parenthesis, x, right parenthesis и g, left parenthesis, x, right parenthesis, например, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared и g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, и ние знаем как можем да намерим производната на сбора на тези две функции:
Правило: | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | |
Пример: | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, 2, x, plus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis |
Знаем също как да намерим производната на произведението на тези две функции:
Привило: | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | |
Пример: | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, squared, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, 2, x |
Съгласно правилото за диференциране на сложна функция можем да намерим производната на функцията, която е съставена от двете функции, тоест на функцията f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:
Привило: | start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99 | |
Пример: | start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared, equals, 2, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99 |
Обяснение с използване на математически трик
Предупреждение: Следващият раздел може да предизвика главоболие или виене на свят при читателите, които са особено чувствителни към грубо използване на математическото записване.
Обикновено изразяваме функциите и производните чрез променливата x.
Но, разбира се, ние можем да използваме и други букви.
А какво ще стане, ако направим нещо шантаво, като заменим символа x с функция, вместо с друга буква.
Не е ясно какво означава start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end fraction, но нека просто да го оставим в този вид за момент. Можем да си представим, че го умножаваме по start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, divided by, d, x, end fraction, за да "съкратим" члена d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:
Това е неправилно от математическа гледна точка, тъй като членовете "d, x" и "d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis" не са числа или функции, които можем да съкращаваме. Има други начини да направим това, но те изискват по-задълбочени математически познания. Засега можеш да си представиш това като удобен математически трик. Това ни е полезно, защото при разлагането на start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared по този начин, ние виждаме какво представлява всеки отделен член, дори да не знаем как да намерим производната на left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared:
Този трик изглежда много по-разбираем, когато запишем функциите обобщено, а не за конкретния пример с x, squared и sine, left parenthesis, x, right parenthesis:
Пример 1:
Пример 2:
Сега можем да направим нещо много интересно като намиране на производната на функцията от абсолютна стойност vertical bar, x, vertical bar, която може да се дефинира като square root of, x, squared, end square root. Например vertical bar, minus, 5, vertical bar, equals, square root of, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5
Сложна функция от произволен брой функции
Правилото за диференциране на сложна функция може да се използва при съставяне на функция от повече от две функции. Нека са дадени четири различни функции A, left parenthesis, x, right parenthesis, B, left parenthesis, x, right parenthesis, C, left parenthesis, x, right parenthesis и D, left parenthesis, x, right parenthesis и ние да дефинираме функцията f, която е съставена от тях:
Като използваме начина за записване на производните start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, можем да приложим правилото за диференциране на сложна функция по следния начин:
Ако използваме записването на производните с f, prime, получаваме следното:
Пример 4:
Дадена е функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, e, start superscript, x, squared, plus, x, end superscript, right parenthesis.
Функцията f е съставена от функциите
Производните на тези функции са
Съгласно правилото за диференциране на сложна функция, производната на сложната функция е
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.