If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017)

Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 2

Урок 20: Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция
Математика
Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017)
Намиране на производни
Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция

Класна стая на Google
Верижното правило ни казва как да намираме производната на сложна функция. Преговори наученото за сложните функции и се научи как правилно да прилагаш правилно за тяхното диференциране.
Правилото за диференциране на сложна функция гласи:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
То ни казва как да диференцираме сложни функции.

Кратък преговор на сложни функции

Една функция е сложна, ако можеш да я запишеш като f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. С други думи тя е функция в друга функция или функция на друга функция.
Например start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 е сложна функция, защото ако start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54 и start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, тогава start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
start color #e07d10, g, end color #e07d10 е функцията в start color #1fab54, f, end color #1fab54, затова наричаме start color #e07d10, g, end color #e07d10 "вътрешна" функция, а start color #1fab54, f, end color #1fab54 "външна" функция.
start color #1fab54, start underbrace, cosine, left parenthesis, space, start color #e07d10, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, start text, в, ъ, т, р, е, ш, н, а, end text, end superscript, space, end color #e07d10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, в, ъ, н, ш, н, а, end text, end subscript, end color #1fab54
От друга страна, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, x, squared не е сложна функция. Тя е произведението на функциите f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis и g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, но нито едната не е функция в другата.
Задача 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis сложна функция ли е? Ако да, коя е "вътрешната" и коя е "външната" функция?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Да не разграничаваме кога една функция е сложна и кога не е

Обикновено единственият начин да диференцираме сложна функция е като използваме верижното правило. Ако не разпознаем, че една функция е сложна и че трябва да приложим верижното правило, няма да успеем да я диференцираме правилно.
От друга страна, ако използваме верижното правило върху функция, която не е сложна, отново ще получим грешна производна.
Особено при трансцендентни функции (например тригонометрични и логаритмични), учениците често бъркат композиции като natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis с произведения като natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Задача 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis сложна функция ли е? Ако да, коя е "вътрешната" и коя е "външната" функция?
Избери един отговор:

Искаш ли да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Често срещана грешка: Грешно определяне на вътрешната и външната функция

Дори когато учениците разберат, че една функция е сложна, те може да объркат коя е вътрешната и коя външната функция. Това със сигурност ще доведе до грешна производна.
Например при сложната функция cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis външната функция е x, squared, а вътрешната функция е cosine, left parenthesis, x, right parenthesis. Учениците често бъркат този вид функции и си мислят, че cosine, left parenthesis, x, right parenthesis е външната функция.

Решен пример с прилагане на верижното правило

Нека видим как верижното правило се прилага при диференциране на h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Забележи, че h е сложна функция:
h(x)=( 5−6x⏞вътрешна )5⏟външнаg(x)=5−6xвътрешна функцияf(x)=x5външна функция\begin{aligned} h(x) &= \greenD{\underbrace{(~\goldD{\overbrace{5-6x}^{\text{вътрешна}}~})^5}_{\text{външна}}} \\\\ \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{вътрешна функция} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{външна функция} \end{aligned}
Тъй като h е сложна функция, можем да я диференцираме, използвайки верижното правило:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Изказано с думи правилото за диференциране на сложна функция (верижното правило) гласи, че производната на една сложна функция е равна на вътрешната функция start color #e07d10, g, end color #e07d10 в производната на външната функция start color #11accd, f, prime, end color #11accd, умножена по производната на вътрешната функция start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c.
Преди да приложим правилото, хайде да намерим производните на вътрешната и външната функция:
g′(x)=−6f′(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
Сега нека приложим верижното правило:
ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)=5(5−6x)4⋅−6=−30(5−6x)4\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right] \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

Упражни прилагането на верижното правило

Задача 3.а
  • Електричен ток
Упражнение 3 ще ни преведе през стъпките за диференциране на sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis.
Коя е вътрешната и коя външната функция в sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis?
Избери един отговор:

Задача 4
  • Електричен ток
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, close bracket, equals, question mark
Избери един отговор:

Искаш ли да се упражняваш още? Опитай това упражнение.
Задача 5
  • Електричен ток
xf, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 19minus, 1minus, 5minus, 6
23minus, 116
G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.
Задача 6
Кати опитала да намери производната на left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, cubed. Това е нейното решение:
Стъпка 1: Нека start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, end color #1fab54 и start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, тогава start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
Стъпка 2: start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, end color #11accd
Стъпка 3: Производната е start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, 3, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, squared, end color #11accd
Вярно ли е решението на Кати? Ако не, каква е нейната грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Да забравим да умножим по производната на вътрешната функция

Често срещана грешка при ученици е да диференцират само външната функция, при което се получава f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, а всъщност правилната производна е f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Друга често срещана грешка: Пресмятането на f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Друга често срещана грешка е да диференцираме f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis като съставена от производните f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Това също е грешно. Функцията, която трябва да е в f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, е g, left parenthesis, x, right parenthesis, а не g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Запомни: Производната на start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 е start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. Не start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd и не start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.