Използване на правилото за диференциране на сложна функция при графично зададена функция 1 (старо)

"Дадени са функциите f и g и техните графики. Ако G(х) е равно на g от f(х), колко е стойността на G' от 2,5?" Значи G(х) е съставена от функциите g и f. Тя е g от f(х), малко g от f(х). Тук нямаме графика на G(х). Дали са ни само графиките на малко g(х) и малко f(х). Това е графиката на f(х). Това е графиката на малко g(х). Нека само да помислим как можем да изчислим тази стойност и после да видим дали са ни дали подходящата информация. Само ще препиша това, което са ни дали. Казват ни, че G(х) е равно на g от f(х). Ако искаме да намерим производната на G(х)... а искаме да намерим коя е производната на G(х), защото трябва да изчислим производната за х = 2,5. Да го направим. Да намерим производната на двете страни на това равенство. Ако вземем производната на лявата страна, ще получим G'(х). Производната от дясната страна, понеже тя се състои от две функции, ще приложим правилото за производна на сложна функция. Значи това е производната на g спрямо f. Можем да напишем това като g' от f(х) по производната на f спрямо х. По f'(х). Ако искаме да изчислим G' от 2,5, тогава навсякъде, където видим х, заместваме с 2,5. Да опитаме да го направим. Значи G'...ще го направя с бяло, за да изпъква. G' от 2,5 ще е равно на малко g' от f от 2,5 по f' от 2,5. Да видим на колко са равни тези. Колко е f от 2,5? Когато х = 2,5... ще го оцветя, за да можеш да го видиш. Когато х е равно на 2,5, функцията ни тук е равна на 1. Значи f от 2,5, виждаме, че е равна на 1. Ще го запиша: f(2,5) е равно на 1. Трябва да намерим колко е и f' от 2,5. Ще го запиша по този начин – f'(2,5) и равно на... Колко е f' от 2,5? Това е просто наклона на допирателната към функцията, когато х е равно на 2,5. Така че това е просто наклонът в тази точка. И поне в тази си част функцията е права. Така наклонът може да бъде определен лесно. Ако отиваме от тази точка тук... Избирам тези точки, защото координатите им са цели числа – виждаме, че на преместване от 3 по х се изместваме нагоре с 2 по у, или промяна 2 по у за всяка промяна с 3 по х. Значи промяната на у за всяка промяна на х е 2/3. Наклонът на функцията ето тук е 2/3. Това е равно на 2/3. Можем да заместим тук, f от 2,5 е равно на 1. Това ето тук е равно на 2/3. Но още не сме готови. Сега трябва да изчислим колко е G' от 1. Когато х = 1, това е графиката на функцията g. Но не търсим g от 1. Трябва ни g' от 1. Колко е наклонът на тази права ето тук? Промяната на у върху промяната на х е 2/1. Придвижваме се с 1 в хоризонтална посока, и се издигаме нагоре с 2 във вертикална посока. Промяната на у върху промяната на х е 2/1. Значи g' – ще го запиша – g' от 1 е равно на 2. Цялото това е равно на 2. И това се опростява – само да го напиша – това се опростява до 2 по 2/3, което е равно на 4/3. Значи можем да запишем, че G' от 2,5 е равно на 4/3. Това е много интересна задача, защото тук не знаем реалната дефиниция на функцията G(х). Но с използване на правилото за производна на сложна функция и дадената ни информация успяхме да намерим стойността на производната, когато х е равно на 2,5.