If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 2

Урок 20: Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция

Използване на правилото за диференциране на сложна функция при графично зададена функция 3 (старо)

Сал решава една стара задача, в която са дадени графиките на функциите f и g, и намира производната на сложната функция [g(f(x))]² в дадена точка. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Дадени са функциите f и g и съответните им графики. Ако главно G(х) е равно на g от f(х), цялото на квадрат, каква е стойността на главно G' от 5? Насърчавам те да спреш видеото на пауза и да се опиташ да го намериш самостоятелно. Да разгледаме това донякъде сложно на вид определение на функцията ето тук. Имаме G(х). Всъщност ще го напиша така, ще използвам жълто. Имаме G(х) е равно на това на квадрат. Значи повдигаме на квадрат g от f(х). Друг начин да запишем G(х) е – ако h(х) е равно на х^2, тогава G(х) е равно на h от това, h от g от f(x). Ще копирам и ще поставя това тук, за да не се налага да сменям цветовете. Копирам, поставям, готово. Това е друг начин да запишем G(х), като независимо каква е g(f(x)), когато ги въведем в h(х), ние просто ги повдигаме на квадрат. Има няколко начина, по които можем да запишем производната на G спрямо х. Сигурно се досещаш, че ще търсим производна на сложна функция. Но искам да го запиша, за да ми е по-ясно какво точно се случва и за да съм сигурен, че всичко е правилно. Това, което можем да напишем, можем да напишем производната на G спрямо... ще смеся малко начините на записване... но ще запиша, че производната на G(х) спрямо х е равна на производната на цялото това нещо. Ще копирам и ще го поставя. Равно е на производната на това цялото нещо спрямо това, което е тук вътре в скобите. Ако искаш да разглеждаш g от f(х) като променлива, значи спрямо това. Значи копирам и поставям. Значи производната на това цялото нещо спрямо g от f(х) по производната на g от f(х) спрямо f(х) спрямо... просто копирам и поставям тази част... опа... спрямо f(х). Искам да запиша това. Изглежда добре. Изглежда, че това са рационални изрази с диференциали. Това е по-скоро начин на записване, което да не се приема буквално. Изглежда добре, или поне на мен ми се струва че това е по-логичен начин защо това работи. Значи спрямо f(х) по производната на... използвам нестандартен начин на записване, но това ще помогне по-добре да концептуализираме това – производната на f(х) спрямо х. Друг начин да запишем това е като G'(х) е равно на h' от g от f(х), h' от... ще го направя тук – h' от това. Копирам и поставям, h' от това, по g' от f(х), по g' от това. Значи копираме и поставяме. Значи това по g' от това. Поставям тук скоби. По f'(х). Харесва ми да го направя по този начин, защото ще забележиш, че ако това беше... и отново, това е само начин на записване, но това ни дава представа какво се случва. Ако разглеждаме това като дроби, тези биха се съкратили. Това ще се съкрати с това. Намираме производната на всичко спрямо х, което е точно това, което искахме да направим. Ще поставя тук скоби, така става по-ясно какво се случва. Но това нещо, според мен, предпочитам да го изразя като h' от g от f(х). Това е g' от f(х). Това е f'(х). Изхождайки от това, за да се опитам да отговоря на въпроса, въпросът, който ни задават всъщност не е толкова труден. Бихме искали да знаем колко е G' от 5. Навсякъде, където виждаме х, ще го променим на 5. Значи търсим колко е G' от 5. G' от 5 е равно на... и всъщност само ще копирам и поставя цялото нещо. Копирам и поставям. Сега навсякъде, където виждам х, ще го заместя с 5. Ще се отърва от това, ще се отърва от това. И ще се отърва и от това. Значи имам 5, 5 и 5. Колко е f(5)? f от 5 е равно на –1. Това тук се опростява до –1. Това тук се опростява до –1. Колко е f' от 5? Това е наклонът на допирателната в тази точка ето тук. Виждаме, че производната, или този наклон на допирателната тук е 0. Това тук е равно на 0. Това е наистина интересно. Можем да продължим да опитваме да намерим колко е g от –1. Колко е g' от –1? Можем да видим g от –1, което е –1. g' от –1 е наклонът ето тук, който също е –1. После можем да изчислим h' от тези стойности и т.н. Но това дори не е нужно, защото това е произведение от три неща, като единият множител е нула. Нула по нещо по нещо друго винаги е равно на 0. Друг начин да мислим за това е, че f(х) не се променя, когато х е равно на 5. Ако f(х) не се променя, когато х е равно на 5, тогава входният аргумент на g няма да се промени. Така че функцията g ще бъде... в състава на g от f(х)... това не се променя. Така че h от g(х) няма да се промени. g(х) няма да се промени. И така производната на G(х) за х = 5 е равна на 0.