Правилото за диференциране на сложна функция и правилото за диференциране на степени

Дадена е функцията f(х) е равно на 2х^3 + 5х^2 – 7, цялото на осма степен. Искаме да намерим производната на функцията f спрямо х. Основното тук е да видим, че тази функция може да се разглежда като съставена от две функции. Как става това? Ще го начертая. Да кажем, че искаме да започнем с... ще го направя тук долу, за да имам място. Ще започна с х, и какво е първото нещо, което трябва да направим? Ако трябваше да го сметнем за дадено х? Първото нещо е да сметнем 2 по х^3 плюс 5х^2 и после минус 7. Значи можем да си представим, че това е едната функция, която представлява израза в скобите. Просто заместваме в израза 2х^3 + 5х^2 – 7 стойността на нашето х. Да наречем това функцията u. Каквато и стойност да въведем в тази функция u, ще получим 2 по тази стойност на трета степен, плюс пет по тази стойност на втора степен, минус 7. Когато направим това, когато заместим със стойност на х, какво ще получим като резултат? Какъв е резултатът тук? Ще получим u(х), което е равно на 2х^3 + 5х^2 – 7. Ще направя всичко в един цвят, за да не сменям непрекъснато цвета. Значи 2х^3 + 5х^2 – 7. Това е u(х). Коя е следващата операция, която ще направиш? Още не сме изчислили f(х). Ще трябва да вземем тази стойност и после да я въведем в друга функция. Ще повдигнем на осма степен тази стойност. После ще вземем това и ще го въведем в друга функция. Да я наречем функцията v. В тази функция, каквото и да въведем, и аз ще използвам тези квадрати, само за да покажа какво въвеждаме в тази функция. Ще повдигнем тази стойност на осма степен. В този случай какво получаваме? Получаваме v от u(x). Можем да разглеждаме това v като функция от 2х^3 + 5х^2 – 7. Или можем да го разглеждаме като 2х^3 + 5х^2 – 7. И целият този израз е на осма степен. Всичко това на осма степен и това е f(х). Както видяхме, f(х) може да се разглежда като съставна функция от v и u. Това е f(х). Ако напиша f(х) е равно на v от u(х), тогава е ясно, че правилото за производна на сложна функция е много полезно. Това правило ни казва, че f'(х) е равно на производната на v спрямо u, значи става v' от, но не е от х, а е v' от u(х). Производната на v спрямо u, по производната на u спрямо х. Значи u'(х). Вече знаем няколко неща. Само ще напиша нещата много ясно. Знаем, че u(х) е равно на 2х^3 + 5х^2 – 7 Колко е u'(х)? Тук ще използваме някои свойства на производните и на степените. 3 по 2 е 6х. 3 минус 1 е 2, значи 6х^2. 2 по 5 е 10. Намаляваме степенния показател с едно и получаваме 10х^1, което е 10х. Производната на константа е просто нула, така че пренебрегваме това. Значи това е u'(х). Вече знаем, че v, ако въведем х във функцията v, v(х) ще е равно на х^8. v'(х), просто отново използваме правилото за производна на степен. Това е равно на 8х^7. Значи v' от u(х), ако тук въведем u(х) в v', това ще е равно на 8 по u(x) на седма степен. Каквото и да въведем в v', трябва да го повдигнем на седма степен и да го умножим по 8. Значи u(х) и това е същото. Това е равно на 8 по целия този израз. u(х) е равно на 2х^3 + 5х^2 – 7 Ето това е. f'(х) е равно на това, което е просто v' от u(х), което е ето това нещо тук. Значи е равно на 8 по 2х^3 + 5х^2 – 7, цялото това е на седма степен, по u'(х). u'(х), намерихме колко е то, значи по 6х^2 + 10х. Колкото повече използваш правилото за производна на сложна функция, толкова по-бързо ще го разпознаваш и всъщност няма да е нужно да пишеш всичко това тук, ще можеш да го правиш до голяма степен наум. Ще можеш да си кажеш: "Ще намеря производната на външната функция, или на синята функция, спрямо това, което е вътре. Ако намирам производната на х^8, тя е 8х^7. Това е спрямо х. Ако намеря производната на това спрямо вътрешния израз, там където е било х, просто сега ще имам u(х). Значи това е осем по това на седма степен. И го умножавам по производната на вътрешната функция, която е 6х^2 + 10х.