Ако функцията u е непрекъсната за x, тогава Δu→0, когато Δx→0

В това видео искам да ти покажа нещо, което ще използваме в доказателството на верижното правило, т.е. е едно от доказателствата на верижното правило. Има повече от едно доказателство на верижното правило. Резултатът, който ще разглеждаме, е: ако имаме някаква функция u, която е функция от х, и знаем, че тя е непрекъсната при х равно на с, тогава това ще означава, че изменението на u клони към 0, когато изменението на х в този участък около с клони към 0. Това искам да разберем. Че ако u е непрекъсната при с, тогава изменението на х около с става все по-малко и по-малко, когато то клони към 0, тогава изменението на u също клони към 0. За да потвърдим това малко по-точно, нека помислим какво означава непрекъснатост при х равно на с. Дефиницията за непрекъснатост е буквално е същото нещо като: границата при х, клонящо към с, на u(х) равно на u(c). Границата на нашата функция при х, клонящо към с, е равна на стойността на функцията при с. Нямаме точка на прекъсване или прекъсване със скок. Ако имахме прекъсване със скок, тогава границата нямаше да съществува, което сме го виждали в минали видеа. Сега просто ще преобразувам, за да получа този извод тук. Можем да запишем това като... Важно е да осъзнаем, че u(c) ще бъде просто някаква стойност. Изглежда, сякаш това може да е функция от х или нещо, но не е. Това е просто някаква стойност. Въвел съм 'с' тук и съм пресметнал функцията на това, получавайки някакво число. Може да е 5 или 7, или пи, или –1, но ще бъде някаква стойност, някаква константа. Затова мога да го разглеждам като константа. Това ще е същото нещо като границата при х, клонящо към с, на u(x) минус u(c) равно на 0. Всъщност във видеото, в което доказахме, че диференцируемостта води до непрекъснатост, започнахме с това и доказахме това тук. Показахме, че тези двете са еквивалентни неща. Надявам се, че ги разбираш. Ако границата на u(x) при х, клонящо към с, е равна на това, тогава когато смятаме тази граница при х, клонящо към с, това нещо ще клони към u(c), защото го видяхме тук горе. u(c) минус u(c) наистина ще бъде равно на 0. Надявам се, че не ти изглежда много сложно. Можеш просто да извадиш u(c) от двете страни и да приложиш свойствата на границите, за да получиш резултата. Това е интересно, защото това може да ни доведе до това: идеята, че когато изменението на х става по-малко и по-малко, и по-малко, приближавайки се към 0, тогава изменението на функцията ни също ще клони към 0. Сега нека начертаем това, да го визуализираме, за да го разберем по-добре. Това е оста х. Упс! Това е оста х. Нека наречем това оста u. Умишлено написах u, защото това е променливата, която ще ползваме в нашето видео за доказателство на верижното правило. Да кажем, че това тук е нашата функция. Да кажем, че това тук е с. Това тук е u(c). После избираме произволно х. Някое произволно х и тогава това тук ще ни е u(x). Ако дефинираме изменението... Нека го направя. Ако дефинираме изменението на u като равно на u(x) минус u(c), което е логично, защото това е изменението на u. Да кажем, че това ще бъде u(x) минус u(c). Ако дефинираме изменението на х като равно на х минус с, което е така в нашия случай. То е х минус с. Тогава можем да запишем тази граница като: Вместо да запишем границата при х, клонящо към с, можем да запишем границата при Δх, клонящо към 0, защото ако х клони към с, тогава Δх ще клони към 0. Можем да запишем, че границата при Δх, клонящо към 0, Δu ще е равна на 0. Дефинираме това като изменението на u. Това е равно на 0. Разгледано по друг начин, при Δх, клонящо към 0, изменението на u, т.е. изменението на функцията ще клони към 0. Когато Δх клони към 0, Δu клони към 0. Това записахме тук. Δu клони към 0, когато Δх клони към 0. Надявам се, че това ти изглежда логично. Разглеждаме непрекъсната функция. Колкото по-малки и по-малки, и по-малки изменения на х получаваме... Колкото нашето изменение на х става по-малко, и по-малко, и по-малко... Това е защото е непрекъсната. Не бихме могли да го кажем за прекъсната функция. Но тъй като е непрекъсната, т.е. не можем да го кажем за някои прекъснати функции. Когато изменението на х става по-малко, и по-малко, и по-малко, тогава изменението на u ще става по-малко, и по-малко, и по-малко. Което е логично, но се надявам, че сега се чувстваш по-уверен, защото ще използваме тази идея, за да докажем верижното правило в следващото видео.