Графичното отношение между една функция и нейната производна (част 2)

В последното видео разгледахме една функция и опитахме да начертаем нейната производна. В това видео ще разгледаме една функция и ще опитаме да начертаем нейната примитивна функция. Това звучи много сложно, но означава просто, че примитивната функция е такава функция, на която нашата функция е производна. Например, ако имаме f(х), и нека да кажем, че примитивната функция на f(х) е F(х) (главно F). Това е начинът, по който се записва примитивна функция. Това просто означава, че производната на F(х), която е F'(х) е равна на f(х). Сега тук ще опитаме... имаме графиката на f(х) и ще опитаме да определим коя евентуално е функцията, на която това може да е производна. Ще изучаваш това много по-задълбочено, когато стигнеш до интегралното смятане. Има много възможни функции, за които това може да е тяхна производна. Целта ни в това видео е просто да начертаем една убедителна възможност. Да поразсъждаваме. Нека тук отгоре да начертая у = F(х). Ще се опитаме да начертаем функцията, за която е възможно производната ѝ да изглежда по този начин. Това, което правим, когато отиваме от тази графика до тази графика тук, е намирането на производната. Да помислим как може да изглежда тази функция. Когато гледаме тази производна в този първи интервал ето тук, ще го направя в цикламено, това е в този интервал от х = 0 до тази стойност на х ето тук, виждаме, че наклонът е постоянен, равен е на +1. Ще начертая права с постоянен наклон +1. Мога да поставя тази права по-нагоре или по-надолу. Има много възможни примитивни функции. Но аз ще избера една. Може да имаме права като тази. Искам да направя наклона +1 максимално добре. Да кажем, че изглежда ето так. Мога да направя функцията дефинирана или недифинирана. Производната е недефинирана в тази точка. Мога да направя функцията дефинирана или недефинирана, както предпочитам. Това вероятно е точка на прекъсване на оригиналната функция. Не е задължително, но аз просто се опитвам да начертая една възможна функция. Да кажем, че всъщност е дефинирана в тази точка ето тук. Но след като е прекъсната, производната ще бъде недефинирана в тази точка. Това е първият интервал. Сега да разгледаме втория интервал. Вторият интервал, от там, където първият интервал свършва, чак до ето тук. Производната е константа, –2. Това означава, че тук ще имаме права с постоянен отрицателен наклон или наклонът е равен на константата –2. Значи това ще е два пъти по-стръмно от това. Мога просто да я начертая. Мога да направя това непрекъсната функция с наклон –2, ето така. Изглежда, че интервалът е наполовина на този интервал. Може би стига до същата точка. Може би изглежда като... ще я начертая малко по-старателно, ето така. Наклонът точно тук е равен на 1, виждаме това тук при производната. После наклонът ето тук е равен на –2. Виждаме отново това от производната. Сега нещата стават интересни. Пак мога да преместя тази синя права нагоре или надолу. Не съм длъжен да правя функцията непрекъсната по този начин. Но го правя за удоволствие. Има много възможни примитивни функции за тази функция. Какво се случва в следващия интервал? Ще използвам оранжево. Наклонът започва от много висока стойност, започва от +2. После намалява, намалява, тук става нула. Наклонът става 0 ето тук. И после започва да става все по-отрицателен и по-отрицателен. Ще се опитам да направя това непрекъсната функция, просто ей така, за забавление. Но повтарям, че не е задължително. Тук наклонът е много положителен, +2. После наклонът става, да видим, това е –2, значи ще бъде +2. И после става все по-отрицателен до тук, или по-добре да кажа все по-малко положителен. Дори тук наклонът е положителен. Ето тук става нула. Може би става нула ето тук. Значи ще имаме някаква парабола. Парабола, обърната надолу. Обърни внимание, тук наклонът е много положителен. Тук е плюс 2, после става по-малко и по-малко положителен, тук става нула. После наклонът започва да става отрицателен. Така че нашата функция ще изглежда като нещо подобно в този интервал. Ще го начертая малко по-спретнато. Това е симетрично. Не е възможно наклонът да стигне дотук, това е отрицателно, но със същата стойност. Кривата ни вероятно също е симетрична. Затова ще я начертая по този начин в интервала. Ще изглежда ето така. И накрая остана последният интервал, или можем да кажем, че наклонът тук е нула. Пак повтарям, че не е задължително функцията да е непрекъсната. Но когато наклонът е 0, това означава просто, че имаме права с нулев наклон. Това е хоризонтална права. Мога да начертая тази хоризонтална права тук, и тогава получаваме прекъсване. Но мога да начертая хоризонталната права ето тук, и така примитивната функция ще стане непрекъсната функция. Повтарям отново, че мога да преместя всяка от тези отсечки нагоре или надолу, и да получа съвсем същата производна. Но тогава няма да имаме непрекъсната функция като тази. Но ние успяхме да построим възможна примитивна функция на тази f(х). И само да напомня, това f(х) е – че примитивната функция е функция, на която f(х) може да е производна.