Представяне на производната на функция като граница: аналитичен подход

Стейси трябва да намери производната на f(х) = x^2 + 1 в точката х = 2. Таблицата по-долу показва средната скорост на изменение на функцията f в интервалите от x до 2 или от 2 до х, като това са затворени интервали, за стойностите на х, които са все по-близко до 2. Значи тук говорим за средната скорост на изменение на f в тези затворени интервали за стойностите на х, когато х е все по-близко до 2. Изглежда ще имаме някакъв вид граница, или че се опитваме да изчислим някаква граница, или да апроксимираме някаква граница. Да разгледаме данните. Това са стойностите на х и тя се опитва да намери средната скорост на изменение между всяка от тези стойности на х и 2, или средната скорост на изменение на функцията между х... една от тези стойности на х и 2, и после е дадена средната скорост на изменение, която тя е изчислила, така че няма нужда да използваме калкулатор, но само да си припомним, как тя е изчислила това 3,9? Всъщност ни казват това. Тя изчислява функцията за х = 1,9 На колко е равна функцията, когато х = 1,9? От това тя изважда стойността на функцията, когато f = 2, така че това е изменението на f, и после разделя това на х, което е 1,9 минус 2, значи изменението на f върху промяната на х. Каква е средната скорост на изменение на функцията в този интервал? Значи между 1,9 и 2, тя получава 3,9. После се приближава до 2, значи сега е между 1,99 и 2, и това става 3,99, което изглежда, че се приближава до 4. Тя се приближава още повече до 2, и средната скорост на изменение става още по-близка до 4, а после преминава от другата страна на 2, можеш да го разглеждаш като че това клони... все едно х клони към 2 от лявата страна, а тук х клони към 2 от дясната страна. Това е 2,1, средната скорост на изменение е 4,1. Когато е 2,01, отново, приближаваме се все повече до 2, средната скорост на изменение се приближава до 4. Колкото повече се приближаваме до 2, толкова повече средната скорост на изменение се приближава до 4. Това, което тези данни ни помагат да апроксимираме... средната скорост на изменение, която знаем е f(х) – f(2) върху (х – 2), но всъщност ние се интересуваме колко е границата, когато х клони към 2 ето тук. Ето това ни помагат да определим тези данни, и изглежда, че тази граница е 4. Казват ни това тук: "Колкото повече х се приближава до 2, и от лявата, и от дясната страна, толкова повече този израз тук, който е това число, се приближава до 4." Може би виждаш, че това е едно от определенията за производна. Това е едно от определенията за производна. Това тук ще бъде f'(2), производната за х = 2, която е равна на границата, когато х клони към 2, от всичко това тук. Има и други начини да изразим производната като граница, но това е един от тях. Тук, от таблицата, колко изглежда ще бъде производната на f(x) = x^2 + 1 за х равно на 2? Производната за х = 2 изглежда е е равна на 4. И сме готови.