Наклонът на допирателната към графиката на функцията като моментна скорост на изменение на функцията

"Данните за три точки на непрекъсната функция f са дадени в таблицата." Нека начертаем графиката им, за да можем да визуализираме това. Вертикалната ни ос, нека просто я наричаме у, е равна на f(х). И после имаме хоризонталната ос. Имаме хоризонталната ос, това е оста х. И ще пропуснем малко тук, понеже веднага стигаме до много високи стойности на f(х). И дори ще пропусна малко разстояние тук, след като стигаме чак до (6,5; 7,5). Нека ти покажа, че тук пропускам малко разстояние. И ще започнем. Да кажем, че това е 108, 109, 110. И да кажем, че това тук е 6,5 и това е 7, а после това е 7,5. И можем да поставим тези точки. (6,5; 108,25) ще ни постави ето тук. (7; 109,45) ще ни постави ето тук. И после (7,5; 110,15) ни поставя тук. Това са просто три точки на непрекъсната функция f. Можем да визуализираме как ще изглежда тази непрекъсната функция f. Може да изглежда ето така. Може би изглежда така. Непрекъснатата ни функция f може да изглежда – кои знае как ще изглежда след това. Това тук е графиката на у = f(х), а сега нека опитаме да отговорим на въпросите. "Каква е средната скорост на промяна на f в съотношение с х, докато х преминава от 6,5 до 7? 7 до 7,5? 6,5 до 7,5?" Нека ги направим едно по едно. 6,5 до 7, промяната ни в х тук е 7 - 6,5 и това е равно на 0,5. Промяната ни в у тук е равна на – да видим. Получаваме 109,45 минус 108,25 и това е 1,2. Средната ни скорост на промяна в този интервал е промяната ни в у върху промяната ни в х или 1,2 делено на 0,5. Нека запиша това. Промяната в у върху промяната в х е равна на 1,2/0,5 и това е равно на 2,4. Това е равно на 2,4. Нека се заемем със следващия интервал. Промяната ни в х, отново, е 7,5 минус 6,5. Промяната в х все още е 0,5. Нека запиша това малко по-спретнато. Промяната ни в х все още е 0,5 – 7 до 7,5. А промяната в у – да видим. Озоваваме се в 110,15. Започнахме от 109,45. Така че промяната ни е 0,7. Тя е 0,7. Промяната ни в у върху промяната ни в х е равна на 0,7/0,5 и това е равно на 1,4. И можеш да видиш, че ъгловият коефициент на секущата права – ъгловият коефициент на секущата права между тези две точки. Тази, тази тук – нека опитам да го начертая колкото мога по-добре. Това ето тук. Можеш да видиш, че е по-стръмна от втората, от тази секуща линия тук. И нека сега намерим ъгловия коефициент – средната скорост на промяна. Или ъгловият коефициент на секущата. Средната скорост на промяна в този интервал, което е същото нещо като ъгловия коефициент на секущата права между тази точка и тази точка. Нека помислим за делта х. И може би ще го направя тук горе. Делта х, преминаваме от 6,5 до 7,5. Така че делта х е равно на 1 и колко е делта у? Делта у, промяната в у, е равна на – да видим. Приключваме в 110,15. Започнахме от 108,25. 110,15 - 108,25... увеличаваме с 1,9. Така че промяната в у върху промяната в х е 1,9 върху 1, което е равно на 1,9. Добре. И това е ъгловият коефициент на секущата права между тази точка и тази точка тук. Ъгловият коефициент на секущата права. Ще изглежда ето така. Виждаш, че е малко по-малко стръмна от пурпурната секуща и малко по-стръмна от оранжевата секуща. Някъде между двете. Сега ни задават този последен въпрос. "Използвай средната скорост на промяна на f в по-големия интервал оттук дотук" – който вече открихме, това е 1,9 – "като приблизително изчисление за ъгловия коефициент на допирателната до f при х = 7." Опитваме да изчислим приблизително ъгловия коефициент на правата, която е допирателна до f при f = 7. Допирателната може да изглежда ето така. И виждаме, поне нагледно, че изглежда като тази синя права, която начертахме. Тази тук изглежда е – поне по начина, по който я нарисувах – изглежда е доста добро приблизително изчисление за ъгловия коефициент тук горе. Ще я използваме като ъгловия коефициент, като приблизително изчисление за ъгловия коефициент на допирателната до f при х = 7. Казват: "Напиши уравнение за правата, допирателна до f при (7; 109,45), като използваш вид точка-ъглов коефициент." Това ще е права, при която ще използваме това като приблизително изчисление за ъгловия коефициент. И тя ще съдържа тази права. Тя е допирателна. Докосва кривата в тази точка. И видът точка-ъглов коефициент, да припомним, е просто друг начин да кажем, че всяка точка на тази права, всяка точка на тази права, (х; у), – ако трябва да намерим промяната в х и в у, съответно на тази точка тук, тя винаги ще има постоянен ъглов коефициент. Един начин да кажеш това е – ако вземеш произволна точка (х; у) на тази права – можеш да кажеш... промяната в у – у - 109,45 върху промяната в х, така че знаем, че 0,7 е тук. Когато х = 7, f(х) = 109,45. Позоваваме се на същата точка. Когато промяната в х е х - 7, промяната в у е у - 109,45. Това винаги ще е константа за всяко (х; у), което избера от тази права тук. И използваме това като приблизително изчисление за отговора. Това ще е равно на 1,9. Ако искаш да поставиш това във вид точка-ъглов коефициент, просто умножаваш двете страни по х - 7. И получаваш у - 109,45 = 1,9(х - 7). И сме готови. Това е приблизително изчисление. Изчислихме приблизително ъгловия коефициент. И ако това беше ъгловият коефициент, това ще е уравнението на допирателната във вид точка-ъглов коефициент.