If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Намиране възможната най-голяма стойност на функция чрез производна (предизвикателство)

При дадени f(-2)=3 и f'(x)≤7 Сал намира най-голямата стойност на f(10). Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

"Нека f е диференцируема функция за всички х. Ако f(-2) = 3 и f1(х) е по-малко от или равно на 7 за всички х, тогава каква е най-голямата възможна стойност за f(10)?" Окуражавам те да помислиш върху това самостоятелно. Спри видеото, опитай да намериш най-голямата възможна стойност за f(10). И после ще го решим заедно. Приемам, че се опита. Нека визуализираме това. Нека начертая няколко оси тук. Да кажем, че това е оста ми х. Това е оста х. И това тук е оста у. Това е оста у и ще начертая графика на у = f(х). И ни казват, че f(-2) = 3. И двете оси няма да са начертани в мащаб. Да кажем, че това е -2. И това тук е точката (-2; 3). И ни казват, че f1(х) е по-малко от или равно на 7, че моментният ъглов коефициент е винаги по-малък от или равен на 7. Начинът, по който можем да получим най-голямата възможно стойност на f – не е нужно да използваме теоремата за средната стойност, въпреки че със сигурност ще ни помогне – е да кажем, че най-голямата възможна стойност на f(10) е ако максимизираме това. Ако приемем, че моментната скорост на промяна просто остава най-висока точно при 7. Ако приемем че функцията ни... най-бързо нарастващата функция тук ще е права, която има ъглов коефициент, равен точно на 7. Ъгловият коефициент от 7 ще изглежда – и очевидно не го чертая в мащаб. Визуално това изглежда повече като ъглов коефициент от 1, но ще приемем, че е ъглов коефициент от 7, понеже не е точно – х и у не са в еднакъв мащаб. Ъгловият коефициент е равен на 7. И ако ъгловият ни коефициент е равен на 7, до къде стигаме, когато х = 10? Когато х = 10, което е ето тук, каква е промяната ни в х? Каква е промяната ни в х? Нека помислим по този начин. Колко ще е промяната ни в у върху промяната ни в х? Промяната ни в у ще е f(10) - f(-2). f(2) е 3, тоест минус 3, върху промяната ни в х. Промяната ни в х е 10 - (-2). 10 - (-2) ще е равно на 7. Това е начинът да максимизираме стойността, която f(10) може да е. Ако при всяка точка ъгловия коефициент е по-малко от това, понеже помни, моментната скорост на промяна никога не може да е повече от това. Ако започнем дори малко по-ниско, най-доброто, което можем да направим, е да стигнем до това. Помни, не можем да направим нещо подобно. Това ще ни даде твърде стръмна крива. Трябва да е така. И после ще стигнем до по-ниско f(10). Всеки път имаш малко по-ниска скорост на промяна, а тогава това ограничава това, което се случва. Помни, ъгловият коефициент никога не може да е повече от 7. Тази част трябва да е успоредна. Трябва да е успоредна на това тук. Това трябва да е успоредно. Но не можем да имаме по-висок ъглов коефициент от това. Начинът да го максимизираме е да имаме ъглов коефициент от 7. Колко ще е f(10)? Да видим, 10 - (-2), това е 12. Умножаваме двете страни по 12 и получаваме 84. Така че f(10) - 3 ще е равно на 84. Тоест f(10) ще е равно на 87. Ако имаш ъглов коефициент от 7, преминаваш с 12. Това означава, че ще увеличиш с 84. Ако започнеш от 3, увеличаваш с 84 и ще стигнеш до 87.