If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Производна на eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ)

Сал диференцира eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ), като прилага правилото за диференциране на произведение на функции и правилото за диференциране на сложна функция. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека сега да използваме това, което знаем за верижното правило и правилото за производна на произведение, за да намерим производната на един още по-странен израз. Ще търсим производната на е на степен косинус от x по косинус от е на степен х. Нека да намерим производната на този израз. Може да разглеждаме това като произведение на две функции. Правилото за намиране производна на произведение гласи, че това ще бъде равно на производната спрямо х на е на степен косинус от х... е на степен косинус от х умножено по косинус от е^х плюс първата функция, т.е. просто е на степен косинус от х... е на степен косинус от х по производната на втората функция. Умножено по производната спрямо х на косинус от е^х. Косинус от е^х. И така, просто трябва да намерим ето тези две производни. Може да предположиш, че верижното правило е приложимо в тази ситуация. Нека да го изясня. Ето този резултат получихме от правилото за намиране производна на произведение. Правило за намиране производна на произведение. След това, за да изчислим всяка от тези производни, трябва да използваме верижното правило. Нека да помислим малко върху това. Производната...Нека да копирам и поставя това, за да не се налага да го записвам отново. И така, копирам и поставям. Нека да помислим на какво ще бъде равна производната на е на степен косинус от х. Може да разглеждаме външната функция като е на степен нещо, като е на степен нещото и производната на е на степен нещото спрямо това нещо просто ще бъде равна на е на степен същото нещо, т.е. тук ще се получи е на степен косинус от х. Нека да направя това в този син цвят. Следователно ще бъде равно на е... Ще го направя в нов цвят. Нека да го направя в пурпурен цвят. Производната на е на степен нещо спрямо това нещо е просто е на степен нещото. В случая е просто е на степен косинус от х и трябва да умножим това по производната на нещото спрямо х. На какво е равна производната на косинус от х спрямо х? Това е просто минус синус от х. Следователно е умножено по минус синус от х. Ето, че намерихме производната на първата функция. Нека да го изясня. Този израз ето тук е производната на е на степен косинус от х. Производна на е на степен косинус от х спрямо косинус х. А ето това тук, точно ето тук, е производната на косинус от х спрямо х. И образувахме произведението на двете. Това е, което следва от верижното правило. Дотук добре. Нека сега да намерим ето тази производна тук. Искам да намерим производната спрямо х на косинус от е^х. Още веднъж, нека да го копирам и поставя. Трябва да намерим това нещо ето тук. Първо, точно както направихме, просто ще приложим верижното правило отново. Трябва да намерим производната на косинус от нещо, в този случай е от косинус от е, спрямо това нещо. Това ще бъде равно на производната от косинус от нещото спрямо това нещо, което е равно на минус синус от това нещо. Минус синус от е^х. Още веднъж, може да разглеждаме този израз като производната на косинус от е^х спрямо е^х. След това умножаваме това по производната на нещото спрямо х. Нека да направя... Свършват ми цветовете. Нека да запиша това с този зелен цвят. И така, умножено по производната на е^х спрямо х, е просто равно на е^х. Това ето тук е производната на е на степен х спрямо х. Като цяло сме готови, просто трябва да заместим това, което намерихме като приложихме верижното правило, в първоначалния израз. Производната на този член ето тук ще бъде равна на... Нека да копирам и поставя всичко, просто за да го направя много хубаво, чисто и прегледно. Копирам и поставям. Това ще бъде равно на ето това умножено по е^х. Следователно това ще бъде равно на... Може да изнесем е^х отпред. Може да изнесем знака минус отпред, така че да го запишем като е на степен косинус от х. е на степен косинус от х, умножено по синус от х, по косинус от е^х. Това е ето този първи член тук. Плюс е на степен косинус от х по целия този израз. Нека да видим. Може да изнесем минуса отпред отново. Нека да изнесем ето този минус отпред. Получава се минус е на степен косинус от х, умножено по е^х. Мога да го запиша по следния начин. е^х, умножено по е на степен косинус от х. Може да опростиш или комбинираш това, защото умножаваш две неща с еднаква основа. Аз обаче ще го оставя просто така. е^х по е на степен косинус от х, по синус. Вече имаме знака минус, така че след това имаме синус от е^х. Синус от е^х, ето тук. Умножено по синус от е^х. Имахме минус синус от е^х по е^х, минус синус от е^х, а след това умножено по косинус от х, така че имам абсолютно същото нещо ето тук. И сме готови.