Производни на обратни функции: от уравнение

Нека f(x) да бъде равна на 1/2 по x^3 плюс 3x минус 4. Нека h да бъде обратната функция на f. Забележи, че f(–2) е равно на –14. А след това ни питат: на какво е равно h'(–14)? Ако не ти е познато как функциите и производните им се отнасят към своите обратни функции, и производните на обратните функции, то тази задача ще ти се стори много трудна за решение. Защото ако се опитваш да намериш обратната функция на f, за да разбереш на какво е равна h, то е доста трудно да намериш на какво е равна обратната функция на функция полином от трета степен, която е дефинирана по този начин. Предполагам, че ключът тук е свойството, което да разбереш, или ключовата истина, която да разбереш, че ако f и h са обратни функции, то тогава h'(x)... h'(x)... ще бъде равно на 1 върху f'(h(x)). 1 върху f'(h(x)). Сега може да използваш това, за да намериш на какво е равно h'(–14). Сега знам какво може би си мислиш, защото същото бих си помислил и аз, ако някой просто извади това отнякъде, а то е откъде идва този резултат. Ще ти кажа, че това идва направо от верижното правило. Знаем, че ако една функция и обратната ѝ, т.е. знаем, че имаме функция и нейната обратна. Тогава за функцията f от обратната функция се получава f(h(x))... Знаем, че това ще е равно на x. Това буквално следва от това, че двете функции са обратни една на друга. Можехме също да кажем, че h(f(x)) също ще бъде равно на x. Не забравяй, че функцията f ще преобразува стойността или функцията h ще преобразува стойността на дадено число x в h(x). А след това функцията f връща тази стойност в първоначалното число x. Така правят обратните функции. Това е защото са обратни една на друга. Следва от дефиницията. Това е, което обратните функции правят една с друга. След това ако намериш производната на двете страни на това равенство, то какво ще получиш? Нека да го направя. Ако търсим производната на двете страни на уравнението. d/dx от лявата страна. d/dx от дясната страна. Мисля, че усещаш накъде отива това, Действително ще получиш вариант на ето това. От лявата страна прилагаме верижното правило. Ще получиш f'(h(x)). f'(h(x)) по h'(x) е резултат директно от верижното правило. Това е равно на производната на x, която просто ще бъде равна на 1. След това разделяш двете страни на f'(h(x)) и получаваш първоначалното свойство ето там. Сега, подготвени с това, нека действително да го приложим. Искаме да изчислим на колко е равно h'(14). О, извинявам се, става дума за h'(–14). h'(–14) ще бъде равно на 1 върху f'(h(–14)). h(–14) Дадено е на колко е равно h(–14). Но не е дадено явно и следва да си спомним, че f и h са обратни функции една на друга. f(–2) = –14 За h ще се получи обратното. Ако въведеш –14 във функцията h, ще получиш –2. Следователно h(–14) ще бъде равно на –2. Още веднъж, двете функции са обратни една на друга. Следователно h(–14) е равно на –2. Пак повтарям, просто размених тези две стойности. Това е, което прави обратната функция. Ако разглеждаш обратното. Тоест ако f превръща –2 в –14, то h ще върне –14 обратно в –2. Искаме да изчислим f'(–2). Нека да намерим на какво е равно f'(x). f'(x) е равно на... Спомни си правилото за намиране производна на степен. Следователно се получава 3/2 по x^(3 – 1), което е равно на х на втора степен. Плюс производната на 3x спрямо x, която просто ще бъде равна на 3. Можеш да намериш производната. Просто прилагаш правилото за намиране производна на степен. А това е x на първа степен, т.е. ще бъде равно на 1 по 3, по x на нулева степен. x на нулева степен е равно на 1, така че остава само 3. А производната на константа просто ще бъде 0. Ето това се получава за f'(x). Тогава f'(–2) ще бъде равно на 3/2 по (–2)^2, което е равно на 4, плюс 4. Плюс 3. Следователно това ще бъде равно на 2 пъти по 3 плюс 3. Резултатът е 6 плюс 3, което е равно на 9. Този числител тук ще бъде равен на 9. Цялото това нещо, т.е. h'(–14), ще бъде равно на 1/9. Условието h'(–14) не е нещо, с което се срещаш всеки ден. Това не е стандартната задача в твоя курс по анализ. Но е интересна.