Основно съдържание
Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017)
Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 2
Урок 8: Диференцируемост- Диференцируемост в точка: графично зададена функция
- Диференцируемост в точка: графично зададена функция
- Диференцируемост в точка: аналитично зададена функция (функцията е диференцируема)
- Диференцируемост в точка: аналитично зададена функция (функцията не е диференцируема)
- Диференцируемост в точка: аналитично зададени функции
- Диференцируемост в точка (старо)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Диференцируемост в точка (старо)
Едно по-старо видео, в което Сал определя точки от графиката на функцията, в които тя е диференцируема. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Дадена е функцията f, която е
дефинирана за всички реални числа. За кои стойности на х функцията
f(х) не е диференцируема? За да разсъждавам по това,
всъщност смятам да изобразя как изглежда
производната f'(х). Ще начертая f'(х) с този
виолетов цвят. Ако разгледаме f(х) ето тук, изглежда, че наклонът е
постоянен –2 в този интервал между
х е равно на... предполагам, че е приблизително 8 и 1/2
чак до х = –2. Изглежда наклонът е
константа –2. Ако искам да начертая
производната, производната ще е
приблизително такава. Производната ще изглежда
приблизително така. После се случва нещо интересно,
когато х е равно на –2. Точно като пресечем х = –2, изглежда, че наклонът преминава
от отрицателен в положителен. И от пръв поглед се вижда, че ако изчисля наклона на
тази допирателна, той започва да се променя. Това вече не е права,
а крива. Наклонът на допирателната
точно в тази точка изглежда около, не знам,
приблизително 3 и 1/2. Ако тук начертая допирателна, изглежда, че ако се преместя
с 1 в посока х, ще се преместя с 3 и 1/2
по посока у. Просто се опитвам да го
оценя приблизително. Изглежда, че наклонът
се увеличава до 3 и 1/2 точно когато преминаваме
тази точка. После наклонът намалява
все повече и повече, чак докато стигна до тази
точка ето тук, чак до х = 2. И изглежда, че продължава
да намалява, докато стигнем до х = 3. Изглежда, че наклонът
на тази права е... Изглежда, че намалява
с постоянна скорост, ако мога да кажа така. Изглежда, че прави нещо
такова в този интервал. И точно когато х преминава 3,
това преминава в права линия. Тук наклонът е нула. Значи точно когато х преминава 3,
наклонът става 0. И веднага виждаме, че има
точки, в които изглежда, че наклонът скача. В тези точки производната
действително не е дефинирана. Тук наклонът също
рязко се променя. И така, за кои аргументи
f не е диференцируема? Тя не е диференцируема, когато
х е равно на –2. Когато х = 2, действително
тук нямаме наклон. Спомни си, че когато искаме да намерим
наклона на допирателната, намираме границата на
наклона на секущата права между тази точка и някаква
друга точка от кривата. Ако направим това, когато
се приближаваме отляво, изглежда, че производната
е –2. Ако направим това отдясно,
изглежда, че производната е приблизително +3 цяло и 1/2. Значи не получаваме една
и съща граница за секущата, когато се приближаваме отляво
и когато се приближаваме отдясно. Същото се случва, когато
х е равно на 3. За х = 3, когато
се приближаваме отляво, наклонът изглежда, че намалява. Клони към, да видим,
може би към –1. Но когато се приближаваме
отдясно, изглежда, че наклонът е 0. Така че нямаме еднакъв
наклон на секущата, когато се приближаваме отляво
и отдясно. Така че и в двете точки виждаме, че
производната се променя рязко, и изглежда, че f(х)
не е диференцируема.