Намиране на граница на функция чрез определението за производна (маскирана производна)

Нека да видим дали можем да намерим границата, когато h клони към 0, на 5 по десетичен логаритъм от (2 + h) минус 5 по десетичен логаритъм логаритъм от 2, цялото върху h. Ще ти дам един малък съвет, защото знам, че ще спреш видеото и ще се опиташ да решиш задачата самостоятелно. Помисли за свойствата на производната и особено за производната на логаритмична функция. Особено на логаритмична функция в този случай, с основа 10. Ако някой напише логаритъм без основа, може просто да си представиш, че ето тук стои 10. Спри видеото и провери дали можеш да я решиш. Добре, ключът тук е да си спомниш, че ако имам, ако имам f от х... Нека да го направя ето тук. Ще го направя ето тук. f от х... и искам да намеря f' от... нека да избера някакво число за f'. Да го наречем а. То ще бъде равно на границата, когато х... О, извинявай! Когато h клони към 0. Това е един начин да мислиш за задачата. Когато h клони към 0, f от (a + h), минус f от а, и всичко това върху h. Това изглежда доста близо до определението за производната чрез граница, с изключение, че имаме тези петици ето тук. Но за щастие, може да ги изнесем, може да ги изнесем... Може да ги изнесем ето пред скоби, но ако просто имаш коефициент или умножаваш по израза, то знаем от определението за граница, че всъщност можем да изнесем тези числа извън самата граница. Нека да го направим. Нека да вземем и двете петици, да ги изнесем отпред, и така целият израз ще се опрости до 5 по границата, когато h клони към 0, от десетичен логаритъм от (2 + h) минус десетичен логаритъм от 2, и всичко това върху h. Сега може би ще разпознаеш какво имаме тук в жълто. Помисли върху това. Какво щеше да бъде, ако имахме f от х е равно на десетичен логаритъм от х, и искахме да знаем на какво е равно f'. Всъщност търсим f' от 2. Ще е равно на границата, когато h клони към 0, от десетичен логаритъм от (2 + h)... минус десетичен логаритъм от 2. Цялото това е върху h. Това, което виждаме тук, е наистина просто... по дефиниция това ето тук е f' от 2. Ако f от х е равно на десетичен логаритъм от х, то това е f' от 2. f' от 2. Може ли да намерим границата? Ако f от х е равно на десетичен логаритъм от х, то на какво е равно f' от х? За f' от х не е нужно да използваме дефиницията за граница. Всъщност чрез дефиницията за граница е доста трудно да изчислим тази граница. Но знаем как да намираме производна от логаритмични функции. Следователно f' от х ще бъде равно на 1 върху натурален логаритъм от нашата основа, а ние вече говорихме за това, и, че тя е равна на 10. 1 върху натурален логаритъм от 10 умножено по... Умножено по х. Ако това беше натурален логаритъм, е, то това щеше да бъде 1 върху натурален логаритъм от е по х. Натурален логаритъм от е е просто равно на 1, и тук е мястото, където получаваш 1 върху х. Но ако имаш някаква друга основа, то заместваш натурален логаритъм от тази основа точно ето тук в знаменателя. И така, на какво е равно f' от 2? f' от 2 е равно на 1 върху натурален логаритъм от 10, умножено по 2. Цялото това нещо се опростява, така че става равно на 5 по ето този израз. Следователно мога просто да го запиша, че е равно на 5 върху натурален логаритъм от 10. Натурален логаритъм от 10 по 2. Мога да го запиша като 2 по натурален логаритъм от 10. Ключово за този вид задачи е, че можеш да си кажеш: "Нека да видя дали може да изчисля тази граница." Подхождаш с: "Еха, това прилича много на производната на логаритмична функция, особено производната, когато х е равно на 2. Ако просто успеем да изнесем тези петици отпред. Изнасяш петиците отпред, и заявяваш: "Хей, това е производната на десетичен логаритъм от х, когато х е равно на 2." И така ще знаем как да намираме производната на десетичен логаритъм от х. Ако не знаеш как става, има други уроци, в които сме го доказали. Където намираш производните на логаритми с основи, различни от е. И всъщност просто използваш това, за да намериш производната, и я изчисляваш в точката х = 2. И задачата е решена!