Производна на функцията 2ˣ (старо)

Да видим можем ли да намерим производната спрямо х на 2 на степен х-та. Може да кажеш: "Чакай малко. Ние знаем как се намира производната на е^х. Но какво става, когато основата е 2? Ние не знаем какво да правим с основа 2." Ключът тук е да преработим това 2^х и да го представим като е на някаква степен. И ключът е да преработим самото 2. Как можем да представим 2 като "е" на някаква степен? Да помислим колко е "е" на степен натурален логаритъм от 2. Натурален логаритъм от 2 е степента, на която трябва да повдигнем "е", за да получим 2. Ако действително повдигнем "е" на тази степен, ще получим 2. Това, което можем да направим, е вместо да запишем 2^х, можем да го представим като "е". Можем да представим 2 като "е" на степен натурален логаритъм от 2, и после да го повдигнем на степен "х". Това тук в жълто е степенният показател х. Да го направим направо ето тук. И вместо да намираме производната спрямо х, на 2^х, нека да намерим производната спрямо х на същия израз, но както е преработен, на "е" на степен натурален логаритъм от 2 на степен х-та. Ще направя този х в същия цвят, dx. Знаем от свойствата на степените, че ако повдигнем нещо на някаква степен, а после го повдигнем на друга степен, можем да вземем произведението на двата степенни показателя. Ще по напиша, за да го запомним. Ако имам "а" на степен b, което повдигам на степен "с", това е равно на "а" на степен "b" по "с". Можем да използваме това свойство на степените сега, за да представим това като равно на производната спрямо х на "е" на степен натурален логаритъм от 2 по "х". Това е удобно, защото сега получихме това във вида "е" на някаква степен. Сега можем да използваме правилото за производна на сложна функция. Тази производна ще е равна на производната на "е" на някаква степен спрямо тази степен. Производната на "е" на някаква степен спрямо тази степен е равна просто на "е" на този степенен показател. Значи това ще е равно на "е" на степен натурален логаритъм от 2х. Искам да изясня какво правя тук. Това ето тук е производната на е на степен натурален логаритъм от 2 по х спрямо натурален логаритъм от 2... искам да още по-ясно – спрямо натурален логаритъм от 2 по х. Значи взимаме производната на "е" на някаква степен, спрямо тази степен – това е ето това тук, тя е просто "е" на тази степен. И после умножаваме това по – това е просто правилото за производна на сложна функция, производната на това нещо спрямо х. Производната на натурален логаритъм от 2 по х спрямо х ще бъде просто натурален логаритъм от 2. Това е просто натурален логаритъм от 2. Производната на "а" по "х" е равна просто на "а". Това е коефициентът на х. И да поясна – това е производната на натурален логаритъм от 2 по х спрямо х. И принципно сме готови. Но можем да опростим това даже още малко. Това ето тук може да го преработим. Ще отделя това с една линия, просто за да е ясно, че този знак за равно е продължение на това, което направих тук горе. Това "е" на степен натурален логаритъм от 2х можем да представим като използваме същото правило за степените, като "е" на степен натурален логаритъм от 2 и после цялото това повдигнато на степен "х". И, разбира се, го умножаваме по натурален логаритъм от 2, значи по натурален логаритъм от 2. Колко е е на степен натурален логаритъм от 2? Вече намерихме това. Това е равно точно на 2. Това тук е равно на 2. Сега можем да опростим. Цялото това нещо, производната на 2 на степен х, е равно на... ще разменя малко реда – това е натурален логаритъм от 2, това е тази част ето тук, по 2^х. Или можем да го напишем като 2^х по натурален логаритъм от 2.