Диференциране на неявна функция (пример за напреднали)

Нека да решим още един пример за неявно диференциране на донякъде щура зависимост. Направил съм графиката на тази зависимост ето тук. Както може да видиш, всъщност е доста странна. e на степен x по y е равно на x – y. Това е част от нея, поне в интервала, който е изобразен, за x и y стойностите, които удовлетворяват даденото уравнение. Нека да намерим производната на двете страни на уравнението. Записвам означението за производна d/dx в двете страни на уравнението. Това всъщност е добра възможност да изследваш някакво различно означение. Имаме склонност да използваме ето това означение, но често ще виждаш означение за производна, което изглежда като главно D (диференциален оператор). Така че, може би ще го използваме точно тук. Нека да го изясня. Това е еквивалентно на означението d/dx. Просто ще използвам това означение с главно D, така че да се запознаеш с означението. Вместо да използвам dy/dx за производната на y спрямо x, просто ще го записвам като y'. За да се упражним малко с различно означение. Нека да намерим производната на този член ето тук. Ще приложим верижното правило. Всъщност ще приложим верижното правило множество пъти в този пример. Производната на e на степен нещо спрямо това нещо, ще бъде e на степен същото нещо, и умножено по производната на това нещо спрямо x. Следователно по производната на x по y на квадрат. Това е нашата лява страна. Не сме приключили все още с търсенето на производни. А от нашата дясна страна, производната на x е равна просто на 1. И производната спрямо x на y ще бъде просто минус... мога да запиша... минус dy/dx. Но вместо да записвам dy/dx, ще запиша y'. Както можеш да видиш, харесвам това и това означение повече защото става ясно, че търся производната спрямо x. Тук просто трябва да предположим, че търсим производната спрямо x. Тук трябва да предположим, че това е производната на y спрямо x. Без значение, нека в този пример да се придържаме към това означение тук. Всъщност, нека да направя всички y', т.е. всички производни на y спрямо x... Нека да ги направя в розово, така че да мога да ги следя. Още веднъж, това ще бъде равно на e на степен x по y^2, умножено по производната на този член. За производната на този член може просто да използваме правилото за намиране на производна на произведение и верижното правило ето тук. Производната на x е просто 1, умножено по втората функция. Ще бъде умножено по y на квадрат. След това ще направим следното. Ще добавим произведението на първата функция, която е това x по производната на y на квадрат спрямо x. Това ще бъде производната на y^2 спрямо y, което ще бъде просто 2y, по производната на y спрямо x, което сега записваме като y'. Приравняваме на дясната страна, която ще е равна на 1 – y'. Това ще е равно на 1 – y'. И както досега сме решавали уравненията, сега просто ще намерим от тук y'. Нека да разкрием скобите и умножим по този израз със степен, т.е. това e на степен x по y на квадрат. И вземаме 'e', или следва да кажа y^2 по е на степен x по y^2. Става дума за това. Плюс 2xy по е на степен xy^2. y', производната на y спрямо x, е равна на 1 минус производната на y спрямо x. Сега нека да прехвърлим всички членове y' от едната страна. Нека да прибавим y' към двете страни. Нека да го направим. И, просто за яснота, добавям 1 по y' към двете страни на уравнението. Нека да прибавим y' към двете страни. Нека да извадим този член от двете страни. И нека да извадим y^2 по e на степен xy^2 от двете страни на уравнението. Ще извадим y^2 по e на степен xy^2. И остава 2xy по е на степен x по y^2 плюс 1, цялото по y'. Имахме ето толкова y' и тогава добавихме друго 1 по y', така че имаме всички тези членове плюс 1 по y'. Това ще бъде равно на...Е, целенасочено добавих y' към двете страни на уравнението, за да остане 1 минус... ето този вид щур израз y на квадрат по e на степен x по y на квадрат. Сега просто следва да разделим двете страни на този израз. И остава производната на y спрямо x, която е равна на този израз, който току-що копирах и поставих. Всъщност нека да го запиша отново. Равно е на 1 върху... Слизам малко надолу. y' е равно на 1 минус y^2 по e на степен xy^2, върху ето този израз. Нека да направя още малко място. 2xy по е на степен x по y^2 плюс 1. И ето, че сме готови. Беше много щуро, но принципно не е по-различно от това, което сме правили в предните няколко примера.