Диференциране на неявна функция (пример за напреднали)

Още веднъж, разполагам с тази щура зависимост между x и y. За да придобиеш представа за това как изглежда, ако изобразиш всички точки x и y, които удовлетворяват уравнението ще получиш ето този малък и приятен модел на детелина. Направих това изображение с приложението Wolfram Alpha. Но това, за което съм любопитен в настоящия урок, както може би си представяш от заглавието, е да намеря скоростта, с която y се изменя спрямо x. И ще го направим чрез диференциране на неявна функция. Ще намерим неявно производната на този израз. Ще трябва да я извлечем неявно или да намерим производната неявно. Нека да запишем означението за диференциране d/dx в двете страни на уравнението. Производната спрямо x отляво и производната спрямо x отдясно. Още веднъж, прилагаме верижното правило. Производната на нещо на трета степен спрямо това нещо ще бъде три пъти по това нещо на квадрат. След това трябва да умножим това по производната на нещото спрямо x. И така, производната на този израз спрямо x ще бъде 2x. Това е производната на x на квадрат спрямо x, плюс производната на y на квадрат спрямо y, която ще бъде 2y по производната на y спрямо x. Още веднъж, прилагаме верижното правило ето тук. Производната на нещо на квадрат спрямо нещото, което е 2y, умножено по производната на нещото спрямо x, което е dy/dx. Сега това ще бъде равно на това, което имаме от дясната страна на уравнението. Имаме 5 по x на квадрат по y на квадрат. Може да извадим 5 от израза засега. Изнасяме 5 пред производната. Производната на 5 по нещо е равна на същото като 5 по производната. Сега може да приложим правилото за намиране на производна на произведение. Ще получим 5 по производната на x^2, което ще бъде равно на 2x, по y на квадрат. Това е просто производната на първата функция, умножена по втората функция. Следва плюс първата функция, но не производната ѝ, т.е. x на квадрат умножено по производната на втората функция. А на какво е равна производната на y на квадрат спрямо x? Е, вече сме я намерили. Това е производната на y на квадрат спрямо y, което е равно на 2y, умножено по производната на y спрямо x. Нека да обясня какво направих току-що. Това е ето това. А това е, което се получава, когато намерих производната му. Това е резултатът от приложението на правилата за намиране на производна. Аналогично, това е ето това. И когато приложих правилата за намиране на производна, получих ето това. Производната спрямо x ето там. Нека да видим дали мога по някакъв начин да намеря dy/dx от уравнението. От лявата страна на уравнението просто ще разкрия скобите и ще умножа този израз в лилаво по тези членове. Ако умножиш този лилав израз по този член ето тук, получаваш 3 по 2x, което е равно на 6x, умножено по х^2 + y^2, цялото на квадрат. Тогава, ако умножиш този израз в лилаво по този ето тук, получаваш плюс... нека да видим: 2y по 3 е равно на 6y, умножено по (х^2 + y^2). Нека да се уверя. 2y по 3 е равно на 6y, умножено по (х^2 + y^2), на квадрат. Сега ще оставя dy/dx в този зелен цвят. dy/dx e равно на... може да умножим числото 5 по този член ето тук. И всичко, което не съдържа члена dy/dx, ще го направя в лилаво. Умножаваш 5 пъти по този член ето тук, което ти дава 10xy^2. След това 5 пъти по ето този член тук, което е равно на 10 по x^2 по y, по dy/dx. Правилно ли го направих това? Да, изглежда, че е правилно. А сега следва да намерим dy/dx от уравнението. Това, което ще направя, е да извадя 10 по x на квадрат... Ще извадя 10 по x на квадрат по y, по dy/dx от двете страни на уравнението. 10 по x на квадрат по y, по dy/dx. Производна. Това не е зелен цвят. Производната на y спрямо x. Ще извадя това и от двете страни, така че да мога да го прехвърля от лявата страна. dy/dx Ще извадя този израз, 6x умножено по цялата тази щуротия, от двете страни. И така, –6x по (x^2 + y^2), на квадрат. Нека да го извадя също и от тази страна. –6x по (x^2 + y^2), на квадрат. И какво ни остана накрая? Е, тези членове се унищожават. От лявата страна ето тук оставаме с 6y по (x^2 + y^2), цялото на квадрат, минус 10 по x^2y по dy/dx, производната на y спрямо x. Производната на y спрямо x е равна на: тези членове се унищожават и ни остава 10x по y^2 минус 6x по (x^2 + y^2) на квадрат. Ако сега искаме да намерим решение за dy/dx, то просто разделяме двете страни на това уравнение на този израз ето тук. И получаваш производната на y спрямо x. Заслужаваме поздравления в този момент. Производната на y спрямо x е равна на цялото това нещо. Просто ще го копирам и ще го поставя. Нека да го копирам и да го поставя. Целият този израз върху целия този израз. Върху целия този израз. Още веднъж, просто ще го копирам и ще го поставя. И просто трябва да поставя една дробна черта. И ето, че сме готови. Намерихме – а това беше един труден израз, но не ни отне много време, на какво е равна производната на y спрямо x във всяка точка. Какво следва да направиш, ако искаш например да намериш наклона на допирателната в дадена точка? Нека да го направя в цвят, който можеш да различиш. Какъв е наклонът на допирателната точно в ето тази точка? Ще трябва да намериш каква е x координатата на тази точка, така че може би ще бъде тази стойност ето тук. След това може да изчислиш за y, за да намериш каква е стойността на y. И тогава ще заместиш това x и y в този труден израз ето тук, за да изчислиш наклона на допирателната.