Доказване, че явна и неявна диференциация дават един и същ резултат

В този урок искам да ти покажа, че диференцирането на неявни функции ще ти даде същите резултати както, явното диференциране, тоест когато можеш да диференцираш явно. Нека да имам дадено отношението x умножено по квадратен корен от y е равно на 1. Този пример може сравнително директно да бъде дефиниран за x, или да се реши за y. Ако разделим и двете страни на x, получаваме, че квадратен корен от y е равно на 1 върху x. Ако след това повдигнеш двете страни на квадрат, получаваш, че y е равно на 1 върху x на квадрат, което е същото нещо като x на степен минус 2. Ако търсиш производната на y спрямо x, това е сравнително лесно да се намери. Това е просто приложение на верижното правило. Получаваме, че dy/dx е равно на минус 2x на степен минус 2 минус 1, или по x на степен минус 3. Това е сравнително лесно. Но какво ще стане ако искам да проверя дали ще получим същия резултат, когато диференцираме функцията неявно? Нека да запишем означението за диференциране d/dx в двете страни на това уравнение. Нека да изясня какво правим. x по квадратен корен от y и 1 ето там. Когато приложиш правилата за намиране на производна към израза в лявата страна на уравнението, в действителност ще приложим две правила: правилото за намиране производна на произведение и верижното правило. Правилото за намиране на производна на произведение ни казва, че е дадено произведението на две функции на x. Може да го разглеждаме по следния начин. Правилото за намиране на производна на произведение ни казва, че това ще бъде равно на производната спрямо х на x по квадратен корен от (y + x)... но не производната му... и умножено по производната спрямо x на квадратен корен от y. Нека да оправя тази скоба. На квадратен корен от y. А от дясната страна, точно ето тук, е производната спрямо x на тази константа, което просто ще бъде равно на 0. До какво се опростява полученият резултат? Е, производната спрямо x на x e просто равна на 1. Това се получава 1, така че просто ще остане квадратен корен от y точно ето тук. Това ще се опрости до квадратен корен от y. А до какво се опростява това тук? За производната спрямо x на квадратен корен от y искаме да приложим верижното правило. Нека да го изясня. Получава се плюс този x плюс каквото е това нещо. Ще го направя в синьо. Това ще бъде равно на производната на квадратен корен от нещо спрямо това нещо. Производната на квадратен корен от нещо спрямо това нещо, или производната на нещо на степен 1/2 спрямо това нещо, ще бъде равно на 1/2 по това нещо на степен минус 1/2. Още веднъж, това ето тук е производната на квадратен корен от y спрямо y. Виждали сме това множество пъти. Ако трябваше да намеря производната на квадратен корен от x спрямо x, то ще получа 1/2 по x на степен минус 1/2. Сега го правя просто с y. Но все още не сме приключили. Спомни си, че правилата за намиране на производна не са за намиране на производна спрямо y. Правилата са за намиране на производна спрямо x. A тази е намерена само спрямо y. Трябва да приложим пълното верижно правило. Трябва да умножим това по производната на y спрямо x, за да получим истинската производна на този израз спрямо x. Нека да умножим по производната на y спрямо x. Не знаем на какво е равно това. Това всъщност е нещото, което се опитваме да намерим. Но, за да използваме верижното правило, следва да запишем производната на квадратен корен от y спрямо y умножено по производната на y спрямо x. И това е равно на производната на този член спрямо x. Получихме ето това от лявата страна на уравнението. От дясната страна имаме просто 0. А сега, още веднъж, може да опитаме да намерим от уравнението производната на y спрямо x. И може би най-лесно е първо да извадим квадратен корен от y oт двете страни на това уравнение. И всъщност нека да преместя всичко това, за да имам повече място, където да работя. Всъщност, нека да го изрежа. А след това да го поставя. Нека да го преместя ето тук. Преместихме го от тук до там. Не спечелих много място, но поне се надявам това да помогне. Всъщност, така дори не ми харесва. Нека да го оставя там, където беше преди. Тогава, ако извадим квадратен корен от y от двете страни на уравнението... ще се опитам да го опростя, докато го решавам...получаваме ето този израз, който ще запиша като x умножено по...Просто ще бъде равно на x в числител, разделено на 2 по квадратен корен от y. y на степен 1/2 е просто квадратен корен от y в знаменателя. И 1/2, просто поставям двойката в знаменател, а след това умножено по dy/dx, което е производната на y спрямо x. И това ще бъде равно на минус квадратен корен от y. Просто извадих квадратен корен от y от двете страни. Всъщност ето това е нещо, което може да искам да копирам и поставя ето тук. Първо копирам, а след това поставям. Нека да се върнем тук горе, просто за да продължим с опростяването и решението на уравнението за dy/dx. За да го решим за dy/dx, просто трябва да разделим двете страни на x/2 по квадратен корен от y. Оставаме с dy/dx или с разделянето на двете страни на този израз е същото като да умножим по реципрочната му стойност, т.е. равна е на 2 по квадратен корен от y/x... върху моя x с жълт цвят - и умножено по минус квадратен корен от y. До какво ще се опрости този израз? Това ще бъде равно на y, умножено по квадратен корен от y, което е равно просто на y. Има отрицателни знак, т.е. минус 1, по 2 и се получава минус 2. Получаваш минус 2 по y/x, което е равно на производната на y спрямо x. Сега може би си казваш: Ние просто намерихме производната чрез неявно диференциране, а изглежда много различна, отколкото това, което направихме ето тук. Когато просто приложихме правилото за намиране на производна на степен, получихме минус 2 по x на степен минус 3. x на степен минус 3. Ключовото нещо тук е да разбереш, че при това нещо ето тук, можехме да решим явно, т.е. можехме да намерим y. Може да направим това заместване ето тук, за да видим, че резултатите от двете решения са точно едно и също нещо. И така, ако направим заместването y е равно на 1/x^2, ще получим dy/dx, т.е. производната на y спрямо x, която е равна на –2 по 1/x^2, и тогава всичко става върху x, което е равно на –2 върху x на трета степен. Това е точно резултатът, който имаме ето тук, т.е. –2 по x на минус трета степен.