Производна на обратен косинус (arccosine)

В предния урок показахме, или доказахме на себе си, че производната на обратната функция на синус от х, е равна на 1 върху квадратен корен от 1 минус х на квадрат. Това, което те насърчавам да направиш в настоящия урок, е да спреш видеото и да се опиташ да направиш същия вид доказателство за обратната функция на косинус от х. Тоест, нашата цел тук е да намерим... Търся производната спрямо х на обратната функция на косинус от х. Обратна функция на косинус от х (косинус от х на степен минус 1). На какво ще бъде равна производната? Добре, предполагам, че вече опита да решиш задачата. Нека да видим заедно решението. Точно както и предишния път, можем да запишем... нека да изберем у да е равно на този израз, т.е. у равно на косинус от х на степен минус 1. Означава същото като да заявим, че х е равно на косинус от у. Просто търся производната на двете страни на уравнението спрямо х. От лявата страна просто ще се получи 1. Просто ще се получи 1. А от дясната страна ще се получи производната на косинус от у спрямо у. Записваме минус синус от у умножено по производната на у спрямо х, която е равна на dy/dx, така че получаваме... Нека да видя...дали може да разделим двете страни на уравнението на минус синус от у. Ще се получи, че dy/dx е равно на минус 1 върху синус от у. Както видяхме и преди, това донякъде е добър резултат, но производната е изразена чрез у. Искаме да е е изразена чрез х. Знаем, че х е равно на косинус от у, така че нека да проверим дали може да запишем този израз най-долу чрез косинус у вместо синус от у. Както видяхме в предния урок, от основното тригонометрично тъждеството, косинус на квадрат от у плюс синус на квадрат от у, равно на 1. Знаем, че синус от у е равно на квадратен корен от 1 минус косинус на квадрат от у. Следователно това е равно на минус 1... Това е просто преобразуване на основното тригонометрично тъждество. Тук ще запишем 1 минус косинус... Мога да го запиша по следния начин: косинус на квадрат от у. Но ще го запиша ето така, защото ще стане малко по-ясно. А на какво е равно косинус от у? Това, разбира се, е равно на х. Следователно това е равно на минус 1 върху квадратен корен от 1 минус... Вместо да запишем косинус от у... Вместо да запишем косинус от у... Опитваме се да сменя цветовете. Вместо да запишем косинус от у, може да запишем 1 минус х. Или 1 минус х на квадрат. Ето, че я решихме. Производната спрямо х на обратната функция на косинус от х е...О, мисля, че изгубих този цвят! Ще го направя в пурпурен цвят... Това е равно на минус 1 върху квадратен корен от 1 минус х на квадрат. Това е прекрасен резултат. Това е прекрасно нещо, което да научиш. Разбира се, следва да го сравним с обратната функция, т.е. с производната на обратната на синус. Всъщност, нека да ги сравним едно до друго, и ще видим, че единствената разлика тук е знакът, така че нека да го копирам и поставя. Ще го копирам и поставя. Ще го поставя ето тук. Нека сега да ги сравним едно до друго. Търсим да намерим производната спрямо x на обратната функция на косинус. Ето тук имаме минус. Минус 1 върху квадратен корен от 1 – х^2. Ако разглеждаме производната спрямо х на обратната функция на синус, то изразът е същият, като изключим, че сега е със знак плюс.