Диференциране на съставна експоненциална функция

Една класическа задача за диференциране на неявна функция, е задачата, в която е дадена функцията у и е равна на х на степен х. Трябва да намериш производната на у спрямо х. Хората поглеждат функцията и си казват: "О, знаеш ли, аз просто нямам константа в степенния показател, така че не мога просто да приложа правилото за намиране производна на степен. Как се решава задачата?" Ключът тук просто е да логаритмуваш с натурален логаритъм и двете страни на уравнението. А това ще е като въведение към това, което ни предстои по-късно в урока. Ако логаритмуваш и двете страни на уравнението с натурален логаритъм, то получаваш, че натурален логаритъм от у е равно на натурален логаритъм от х на степен х. Сега правилото за намиране производна на степен, или по скоро на натурален логаритъм, гласи, че ако търся натурален логаритъм от нещо на степен същото нещо, то това е еквивалентно на това да запиша натуралния логаритъм от х на степен х да бъде равнен на х умножено по натуралния логаритъм от х. Нека да запиша всичко отново. Ако търся натурален логаритъм от двете страни на това уравнение, получавам, че натурален логаритъм от у е равен на х умножено по натуралния логаритъм от х. Сега може да намерим производната на двете страни на това уравнение спрямо х. Производната спрямо х от дясната страна, а след това производната спрямо х от лявата страна. Сега ще приложим верижното правило. Верижното правило. На какво е равна производната от този израз спрямо х? На какво е равна производната от вътрешния израз спрямо х? Свързано е с диференциране на неявна функция, така че ще бъде равно на dy/dx по производната на цялото това нещо спрямо тази вътрешна функция. Производната на натурален логаритъм от х е равно на 1/х. Тогава производната на натурален логаритъм от у спрямо у ще бъде равна на 1/у. Следователно по 1/у. А това е равно на... За производната на този израз ще приложим правилото за производна на произведение. Произволно смених цветовете тук. Получава се производната на този първи член, която е равна на 1, по втория член, т.е. по натурален логаритъм от х. Плюс производната на втория член, която е равна на 1/х, умножено по първия член. Тоест умножено по х. Получихме dy/dx по 1/у е равно на натурален логаритъм от х плюс... това е просто 1... х, разделено на х. След това умножаваш двете страни на това уравнение по у. Получаваш dy/dх е равно на у по натурален логаритъм от х, плюс 1. Ако не ти харесва това у да стои тук, може просто да направиш заместването у е равно на х на степен х. Може да кажеш, че производната на у спрямо х е равна на х на степен х, умножено по натурален логаритъм от х плюс 1. Това е забавна задача и често е давана като заблуждаваща задача, или понякога дори като допълнителна задача, ако хората не знаят, че трябва да логаритмуват двете страни на това уравнение. Аз обаче се сблъсках с дори още по-трудна задача и това е, пред което ще се изправим в настоящия урок. Но е добре първо да видиш решена тази задача, защото тя ни дава основните методи. По-трудната задача, с която ще се захванем, е ето тази. Нека да я запиша. Дадено ни е, че функцията у е равна на... и тук е неочакваното: х на степен х на степен х. И искаме да намерим производната dy/dx. Искаме да намерим производната на у спрямо х. За да решим тази задача реално ще използваме същите методи. Използваме натурален логаритъм, за да разделим степенния показател и да го представим във вид, с който можем да се справим. Може да използваме правилото за намиране производна на произведение. Нека да логаритмуваме и двете страни на уравнението с натурален логаритъм, както направихме и в предната задача. Получава се натурален логаритъм от у е равно на натурален логаритъм от х на степен х на степен х. Това е просто степен на това. Може да запишем това като х на степен х умножено по натурален логаритъм... По натурален логаритъм от х. Сега този израз, или уравнение, се опростява до натурален логаритъм от у е равно на х на степен х по натурален логаритъм от х. Все още обаче имаме този неприятен член х на степен х ето тук. Не знаем лесен начин, по който да намерим производната тук, въпреки че току-що просто ти показах на какво е равна производната на този израз, така че сега просто може да го приложим. Щях да търся натурален логаритъм отново и щеше да се стигне до ето това голямо, объркващо нещо, но осъзнах това по-рано в настоящия урок и просто реших уравнението за производната на х на степен х. Получава се ето това нещо тук. Представлява този щур израз ето тук. Просто следва да запомним това и след това да го приложим и да решим задачата си. Нека да решим своята задача. Ако не бяхме решили тази задача предварително – това беше една неочаквана полза от решението на по-проста версия на задачата, то можеше просто да продължиш да търсиш натурален логаритъм от това, но просто щеше да става все по-объркано. Но след като вече знаем на какво е равна производната на х^x, нека просто да го приложим. Следователно ще търсим производната на двете страни на уравнението. Производна от този израз ще бъде равна на производната от този израз. Това ще го игнорираме засега. Производна на това спрямо х е производната на натурален логаритъм от у спрямо у. Това е равно на 1/у по производната на у спрямо х. Това е просто приложение на верижното правило. Научихме това чрез диференцирането на неявна функция. Следователно ето това ще бъде равно на този първи член, умножен по втория член. Ще го запиша просто защото не искам да пропускам стъпки и хората да се объркат. И така, ето това е равно на производната спрямо х на х на степен х по натуралния логаритъм от х плюс производната спрямо х от натурален логаритъм от х, по х на степен х. Нека да се фокусираме върху дясната страна на това уравнение. На какво е равна производната на х на степен х спрямо х? Е, току-що решихме тази задача ето тук. Получава се х на степен х, по натурален логаритъм от х + 1. Ето тази част тук... Вече забравих на какво е равно! Беше х на степен х , по натурален логаритъм от х + 1. Това е х на степен х , по натурален логаритъм от х + 1. И тогава ще умножим това по натурален логаритъм от х. И тогава ще съберем с това, т.е. плюс производната на натурален логаритъм от х. Това е относително ясно, че се получава 1/х по х на степен х. И, разбира се лявата страна на уравнението беше просто 1/у по dy/dx. Сега може да умножим и двете страни на това уравнение по у и ще получим dy/dx е равно на у по целия този щур израз: х на степен х, по натурален логаритъм от х плюс 1, по натурален логаритъм от х, плюс 1/х по х на степен х. Това е х на степен –1. Може да запишем това като х на степен –1 и тогава да съберем степенните показатели. Може да запишеш това като х на степен х –1. И ако не ни харесва това у тук, може просто да го заместим отново. у е равно на това, на този щур израз ето тук. И така, нашият финален отговор за тази... е, от една страна изглежда като много лесна задача, но от друга, когато оцениш какво разкрива, е като: "О, това е много сложна задача!" – намираш производната на у спрямо х, че е равна на у, което е ето това. И така, това е х на степен х по цялото това нещо, по х на степен х, по натурален логаритъм от х плюс 1, по натурален логаритъм от х и тогава всичко това плюс х на степен (х –1). Кой би си помислил. Понякога математиката е елегантна. Намираш производната на нещо като този израз и получаваш нещо прекрасно. Например, когато намериш производната на натурален логаритъм от х, получаваш 1/х. Това е много просто и елегантно, и е хубаво, че математиката работи по този начин. Понякога обаче правиш нещо, извършваш действия върху него, нещо, което изглежда достатъчно просто и елегантно, а получаваш нещо, което е плашещо и не изглежда толкова приятно за гледане, но е много интересна задача. И ето, че сме готови.