Работен пример: диференциране на съставна експоненциална функция

Нека да изберем у да е равно на натурален логаритъм от х на степен х. Искаме да намерим производната на у спрямо х. Насърчавам те да спреш видеото и да провериш дали можеш да го направиш. Когато за първи път се опитваш да се справиш с тази задача, изглежда малко обезсърчително. Знаем как да намираме производна на константа, повдигната на някаква степен, но как да намерим производна на някакъв вид функция, която в този случай е натурален логаритъм, на степен х? Отговорът тук е да използваш някои от свойствата на логаритъма и след това ще приложим диференциране на неявна функция. Първото нещо, което искаме да направим...Всъщност, нека да запиша този израз с малко повече разстояние. И така, това е натурален логаритъм от х на степен х. Първото нещо е, че искам да се отърва от тази степен х, искам да мога да приложа правилото за намиране производна на произведение. Начинът, по който ще направим това, е като логаритмуваме двете страни на уравнението с натурален логаритъм. Логаритмуваме и двете страни на уравнението с натурален логаритъм. Може би ще попиташ: Защо това е полезно? Ако намеря натурален логаритъм от нещо, което е на степен, то това е същото нещо...Всъщност, нека да го запиша като свойство, което може и да си, но може и да не си спомняш, от свойствата на логаритмите. И така, ако имам например логаритъм, или просто ще напиша натурален логаритъм, т.е. ако имам натурален логаритъм от а на степен b, то това е същото нещо като b, умножено по натурален логаритъм от а. Това е просто стандартно свойство на логаритмите. Следователно, когато логаритмувам двете страни на уравнението, този степенен показател може да бъде изнесен отпред и да се умножи по функцията натурален логаритъм. Така че тази степен може да бъде изнесена отпред и нека просто да запиша всичко отново. Намираме, че натурален логаритъм от у, е равен на... ще поставя това в скоби, натурален логаритъм от у е равен на х – това х в синьо – х умножено по натурален логаритъм от... Извинявам се! х по натурален логаритъм от натурален логаритъм от х. Натурален логаритъм от натурален логаритъм от х. Ето че го направихме. Просто като логаритмуваме двете страни на уравнението, и приложим това свойство на логаритмите, успяхме да получим този резултат. Сега ще си кажеш, добре, но как всъщност това ще ни бъде полезно? Е, сега може неявно да диференцираме двете страни на този израз. И всъщност, нека да преместя този израз малко надясно, така че да можем, т.е. да имаме повече място за означението за производна. Добре, преместих го. А сега, нека да намерим производната спрямо х на двете страни на уравнението. Ще търся производната спрямо х на лявата страна и на дясната страна. И на дясната страна. От лявата страна, това ще бъде всъщност приложение на верижното правило. Когато учиш неявно диференциране, разбираш, че е просто приложение на верижното правило. Представлява производната на външната функция спрямо вътрешната функция. Имаме производната на натурален логаритъм от у спрямо у, и производната на това ще бъде равна просто на 1/у, или получава се 1/у умножено по производната на вътрешната функция спрямо х. По dy/dx. Това ще бъде равно на... Е, това ще стане интересно. Всъщност нека да направя нещо друго за малко. Нека просто да...Първото нещо, което искаме да направим тук, е просто да приложим верижното правило. Производната на първия израз, която ще бъде равна просто на 1 по втория израз. Предполагам, че ще кажеш функция, така че умножена по натурален логаритъм от натурален логаритъм от х. Натурален логаритъм от х, а след това плюс тази първа функция. Просто х по производната на втората функция. По производната на втората функция. На какво е равна производната на натурален логаритъм от натурален логаритъм от х? Нека да решим това отделно. Ще се опитам да намеря производната спрямо х от натурален логаритъм, т.е. от натурален логаритъм от натурален логаритъм от х. От натурален логаритъм от х. Е, тук отново мога да приложа верижното правило. Производната на тази функция в пурпурно лилаво спрямо вътрешната функция, ще бъде равна на 1 върху натурален логаритъм от х, и след това умножена по производната на вътрешната функция спрямо х, т.е. по 1/х. И това е равно на 1 върху х по натурален логаритъм от х. Производната на тази втора функция ето тук, е равна на 1 върху х по натурален логаритъм от х. 1 върху х по натурален логаритъм от х. Нека да видим, този х и този х се съкращават, и така оставаме с 1/у, и просто ще запиша всичко това с този син цвят. 1/у умножено по производната на у спрямо х, е равно просто на натурален логаритъм от натурален логаритъм от х. Натурален логаритъм от натурален логаритъм от х плюс 1 върху натурален логаритъм от х. 1 върху натурален логаритъм от х. А сега, следва да решим уравнението относно производната. Може да умножим двете страни на уравнението по у, така че нека го направим. Ще умножим тази страна по у, и ще умножим и тази страна по у. И какво ще получим? Е, от лявата страна... ето защо умножихме по у... просто ще остане производната на у спрямо х. Производната на у спрямо х е равна на... у е първоначалната функция, т.е. ето това е първоначалният израз, който имахме. у беше равно на натурален логаритъм... Нека да го запиша по друг начин ето тук. у беше равно на натурален логаритъм от х на степен х. Така че, всъщност умножаваме двете страни по натурален логаритъм от х на степен х. Сега тук ще стане малко объркано. Може просто да го запишем по начина, по който го записах току-що, без да го заместваме. Всъщност, нека да го оставя така. Ще се получи... и тук заслужаваме поздравления, защото задачата е доста трудна – натурален логаритъм от натурален логаритъм от х плюс 1 върху натурален логаритъм от х. Всичко това е умножено по натурален логаритъм от х на степен х. Това беше доста трудно. А ако някой попита на какво е равна производната на у, когато х е равно на числото е? Ако някой попита на какво е равно това, когато х е равно на числото е, то тогава може да изчислим тази производна, когато х е равно на числото е. Това ще бъде... и аз току-що просто сега се сетих за това, ако първоначалният въпрос не беше просто на какво е равно dy/dx, а бяха попитали на какво е равно dy/dx, когато х е равно на числото е. Ако това беше първоначалният въпрос, то можеше да го изчислим. Когато просто заместим всички х с числото е, то ще имаме е ето тук, е ето тук, и тук. И числото е ето там. Аз просто избрах числото е, защото е толкова лесно за изчисление. Ето този натурален логаритъм от е, е просто равен на 1. Натурален логаритъм от 1, а е на нулева степен е равно на 1, т.е. всичко това става просто равно на 0. Натурален логаритъм от е е равно на 1, така че целият този израз ето тук става равен на 0 плюс 1/1, така че става равен на 1. Тогава натурален логаритъм от е е равно на 1 и ще се получи 1 на степен е. Може да повдигнеш 1 на коя да е степен и просто ще получиш 1. Тоест 1 по 1 е равно на 1. Просто си мислех, че ще бъде забавно да се опитаме да изчислим този израз за стойност, която ще бъде относително лесна.