Диференциране на логаритмични функции, използвайки свойствата на логаритъма

Дадена е функцията f(х) е равно на натурален логаритъм от (х + 5)/(х –1). Искаме да намерим колко е f'(х). Насърчавам те да спреш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно да го намериш. Има два начина да подходим към задачата. Бих нарекъл първия лесния начин. А другия – трудния начин. Ще направим и двата. Лесният начин е да приложиш свойствата на логаритмите, да си спомниш свойствата на натурален логаритъм от А върху В Спомни си, че натурален логаритъм означава основа е. Значи това ще бъде равно на натурален логаритъм от А минус натурален логаритъм от В. Просто прилагаме това свойство ето тук, и само опростяваме израза, или поне го опростяваме от гледна точка на намирането на производните на членовете на израза. Можем да преработим f(х). Можем да напишем, че f(х) е равно на натурален логаритъм от (х + 5) минус натурален логаритъм от (х – 1). Сега намираме производните спрямо х, f'(х), като това ще бъде производната на натурален логаритъм от (х + 5) спрямо (х + 5), значи става 1/(х + 5) по производната на (х + 5) спрямо х. Просто прилагам верижното правило – и това става 1. Това е производната на тази част. Производната на това, да видим, тук ще имаме знак минус, и производната на натурален логаритъм от (х – 1) спрямо (х – 1) е равна на 1 върху (х – 1), а производната на (х – 1) спрямо х е просто 1, така че умножаваме по 1, което не променя стойността. И сме готови. Намерихме производната на f. Сигурно се чудиш какъв е трудният начин. Но може и да си го използвал/а, когато опита самостоятелно да решиш задачата. Това е да не опростяваме израза с помощта на това свойство и просто да опитаме да решим това с верижното правило. Да опитаме и по този начин. В този случай f'(х) е равно на производната на цялото това нещо спрямо (х + 5) върху (х – 1), което е 1 върху (х + 5)/(х – 1) по производната спрямо х от (х + 5)/(х –1). Това е правилото за диференциране на сложна функция или верижното правило. Производната на целия този израз спрямо този израз, по производната на този израз спрямо х. Просто верижното правило. Да видим, това е равно на... ще използвам различни цветове, това, което ограждам в синьо, е равно на (х –1)/(х + 5). Просто взимам реципрочното на това. И това е умножено по всичко, което е в цикламено. Не, това не е в цикламено. Значи това е по... ще го преработя като производната спрямо х на (х + 5) по (х – 1) на степен –1. Харесва ми да го запиша по този начин, защото винаги забравям правилото за коефициентите. Но помня правилото за производението. И сега това, ще го преработя, сигурно вече разбираш защо това е трудният начин. Ще запиша това като (х –1) върху (х + 5) по... прилагаме правилото за произведение. Производната на (х + 5), това е просто 1 по втория член, по (х – 1) на степен –1, значи това е върху (х – 1). После плюс, колко е производната на (х – 1) на степен –1. Да видим, това е равно на –(х – 1) на степен –2. Значи –1(х –1) на степен –2. Мога да го напиша просто ето така. И после по производната на (х – 1) спрямо х. Това ще бъде 1. После по това, по (х + 5). Всъщност, да, по (х + 5). Просто приложих правилото за производна на произведение. Производната на това е едно, по ето това. И получихме това тук. После производната на това, която е ето това тук. –1/(х – 1) на квадрат или можем да кажем върху (х – 1) на степен –2, по този първия израз тук. Значи това е тази производна. Сега да видим можем ли да опростим нещата. Да видим, ако трябваше... всъщност ще препиша всичко. Значи това е равно на (х – 1)/(х + 5) по 1/(х – 1), минус (х + 5) върху (х – 1)^2. Сега да видим какво се случва, когато разкрием скобите. Когато умножим това по това, този числител се съкращава с този знаменател, и тогава ще получим, да видим, 1/(х + 5). После като умножим ето тук, (х + 5) се съкращава с това (х + 5). (х – 1) се съкращава с едно от тези (х – 1). И накрая ни остава само едно от тези (х – 1) в знаменателя. И така получаваме, че f'(х) е равно на това. За наше щастие получихме еднакъв отговор и по двата начина. Но както виждаш, лесният начин е много по-лесен от трудния. :-)