Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Производна на функцията логаритъм с произволна основа (старо)

Едно по-старо видео, в което Сал намира производната на функцията log_b(x) (за произволна основа b) с помощта на производната на функцията ln(x) и правилото за диференциране на сложна функция. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Вече знаем, че производната спрямо х на натурален логаритъм от х е равна на 1/х. А колко е производната, но не на натурален логаритъм от х, а на логаритъм с основа, различна от "е"? Може би можеш да запишеш log(х) с основа b, където b е произволна основа. Как можем да решим това? Трикът тук е да напишем това, като използваме формулата за смяна на основата. Можем да го представим с логаритми. Знаем, че логаритъм... само ще напиша формулата за смяна на основата. Искам да премина от основа b към основа "е", което е натурален логаритъм. Формулата за промяна на основата сме я доказали вече в друго видео. Можеш да потърсиш в Кан Академия. Формулата за смяна на основата на логаритъма казва, че логаритъм с основа b е равен на натурален логаритъм, ако искаме да преминем към логаритъм с основа е – натурален логаритъм от х върху натурален... всъщност ще го напиша подробно, за да се вижда какво правя. Логаритъм от х с основа е върху логаритъм от b с основа е, което е равно на натурален логаритъм от х, върху натурален логаритъм от b. Сега само трябва да препишем това. Това е равно на производната спрямо х от натурален логаритъм от х върху натурален логаритъм от b. Можем даже да го напишем като 1 върху натурален логаритъм от b по натурален логаритъм от х. И сега това е много очевидно. Защото това, което имаме тук, 1 върху натурален логаритъм от b, това е просто константа, която умножаваме по натурален логаритъм от х. Значи можем да я изнесем извън производната. Това е равно на 1 върху натурален логаритъм от b по производната спрямо х от натурален логаритъм от х. Знаем какво да направим сега. Това тук е равно на 1/х. И получаваме 1 върху натурален логаритъм от b по 1/х. Накрая получаваме 1 върху натурален логаритъм от b по 1/х, или 1 върху натурален логаритъм от b, което е просто някакво число, по х. И ако някой те попита коя е производната спрямо х на логаритъм от х с основа 5, сега вече знаеш. Тя е 1 върху натурален логаритъм от 5 по х, ето така.