Производна на функцията логаритъм с произволна основа (старо)

Вече знаем, че производната спрямо х на натурален логаритъм от х е равна на 1/х. А колко е производната, но не на натурален логаритъм от х, а на логаритъм с основа, различна от "е"? Може би можеш да запишеш log(х) с основа b, където b е произволна основа. Как можем да решим това? Трикът тук е да напишем това, като използваме формулата за смяна на основата. Можем да го представим с логаритми. Знаем, че логаритъм... само ще напиша формулата за смяна на основата. Искам да премина от основа b към основа "е", което е натурален логаритъм. Формулата за промяна на основата сме я доказали вече в друго видео. Можеш да потърсиш в Кан Академия. Формулата за смяна на основата на логаритъма казва, че логаритъм с основа b е равен на натурален логаритъм, ако искаме да преминем към логаритъм с основа е – натурален логаритъм от х върху натурален... всъщност ще го напиша подробно, за да се вижда какво правя. Логаритъм от х с основа е върху логаритъм от b с основа е, което е равно на натурален логаритъм от х, върху натурален логаритъм от b. Сега само трябва да препишем това. Това е равно на производната спрямо х от натурален логаритъм от х върху натурален логаритъм от b. Можем даже да го напишем като 1 върху натурален логаритъм от b по натурален логаритъм от х. И сега това е много очевидно. Защото това, което имаме тук, 1 върху натурален логаритъм от b, това е просто константа, която умножаваме по натурален логаритъм от х. Значи можем да я изнесем извън производната. Това е равно на 1 върху натурален логаритъм от b по производната спрямо х от натурален логаритъм от х. Знаем какво да направим сега. Това тук е равно на 1/х. И получаваме 1 върху натурален логаритъм от b по 1/х. Накрая получаваме 1 върху натурален логаритъм от b по 1/х, или 1 върху натурален логаритъм от b, което е просто някакво число, по х. И ако някой те попита коя е производната спрямо х на логаритъм от х с основа 5, сега вече знаеш. Тя е 1 върху натурален логаритъм от 5 по х, ето така.