Основно съдържание
Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017)
Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 2
Урок 28: Диференциране на логаритмични функции- Производни на функциите sin(x), cos(x), tg(x), eˣ и ln(x)
- Производна на logₐx (за произволна основа a≠1)
- Решен пример: Прилагане на правилото за диференциране на сложна функция за намиране производната на log₄(x²+x)
- Диференцирай логаритмични функции
- Диференциране на логаритмични функции, използвайки свойствата на логаритъма
- Производна на функцията логаритъм с произволна основа (старо)
- Диференциране на логаритмични функции: преговор
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Производни на функциите sin(x), cos(x), tg(x), eˣ и ln(x)
Научи кои са производните на някои често срещани функции. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Хайде да се запознаем с
производните на някои от най-често
срещаните функции. Няма да ги доказваме
в това видео, но поне ще разберем
какви са производните им. Да започнем първо с
тригонометричните функции. Производната спрямо х
на синус от х е равна на косинус от х. Ако разгледаме техните графики,
ще видим, че това е логично. Пак казвам, че няма
да го доказваме сега, но е хубаво да знаеш, че производната на синус от х
е равна на косинус от х. А коя е производната
на косинус от х? Коя е производната спрямо х
от косинус от х? Тя е равна на –sinх. Значи производната
на синус е косинус, а производната на косинус
е минус синус. Накрая, производната на
тангенс от х е равна на 1/(cosх)^2, което е равно на
секанс на квадрат от х. Това са неща, които
е хубаво да се знаят. Сега да видим някои показателни
и логаритмични функции. Производната на... всъщност, това е едно от най-яките неща, което още веднъж ни показва
колко страхотно е числото "е", производната спрямо х
на е^х – тук са ни нужни фанфари, защото това е едно от
най-яките неща в математиката. Производната на e^х
е равна на е^х. Какво означава това? Тук ще направя малка пауза, просто защото това е
толкова вълнуващо. Ще построя графиката на е^х. Това е оста у. Това е оста х. Ако имаме отрицателни
стойности на х, е на много отрицателна степен,
това се приближава до нула. После е на нулева степен е 1, това тук е 1. Ще изглежда горе-долу така. И после имаме
експоненциална част. Това започва да нараства много, много бързо. Да кажем, че това е
графиката на е^х. Тя ни показва, че във всяка
точка... да кажем, че сме ето тук. Когато х е равно на 0,
е на нулева степен е 1, а какъв е наклонът
на допирателната тук? Оказва се, че е 1. Удивително! Ако отида в х = 1 ето тук, е на първа степен
е просто е. Какъв е наклонът на допирателната
в тази точка? Той също е равен на е. Във всяка точка наклонът
на допирателната е равен на стойността
на функцията в тази точка. Това е удивително! Това е супер интересна
характеристика на числото е. Но не това е целта
на това видео. Тук искам да изброя някои от производните, които
може би ще ти трябват. Накрая, ако търсим
производната спрямо х на натурален логаритъм от х,
това ще бъде равно на... това също е изумително. Производната е равна на
1/х или на х^(–1). Някак си натуралният логаритъм се е вградил в... когато определяме производната,
той запълва празнината, която правилото за производна от
степен оставя вакантна, която е, дали има функция, чиято
производна да е равна на х^(–1)? Правилото за производна
на степен ни дава производни, които могат да са на степен
–2 или –3, или х на квадрат,
или х на пета степен. Но х на степен минус първа
е "вакантно" така да се каже, и това се запълва
от логаритъм от х. Не го доказвам тук. Само изброявам
тези производни. Ще ги използваме в бъдещите
уроци, както и ще ги докажем
в бъдещи видеа.