Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Производни на функциите sin(x), cos(x), tg(x), eˣ и ln(x)

Научи кои са производните на някои често срещани функции. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Хайде да се запознаем с производните на някои от най-често срещаните функции. Няма да ги доказваме в това видео, но поне ще разберем какви са производните им. Да започнем първо с тригонометричните функции. Производната спрямо х на синус от х е равна на косинус от х. Ако разгледаме техните графики, ще видим, че това е логично. Пак казвам, че няма да го доказваме сега, но е хубаво да знаеш, че производната на синус от х е равна на косинус от х. А коя е производната на косинус от х? Коя е производната спрямо х от косинус от х? Тя е равна на –sinх. Значи производната на синус е косинус, а производната на косинус е минус синус. Накрая, производната на тангенс от х е равна на 1/(cosх)^2, което е равно на секанс на квадрат от х. Това са неща, които е хубаво да се знаят. Сега да видим някои показателни и логаритмични функции. Производната на... всъщност, това е едно от най-яките неща, което още веднъж ни показва колко страхотно е числото "е", производната спрямо х на е^х – тук са ни нужни фанфари, защото това е едно от най-яките неща в математиката. Производната на e^х е равна на е^х. Какво означава това? Тук ще направя малка пауза, просто защото това е толкова вълнуващо. Ще построя графиката на е^х. Това е оста у. Това е оста х. Ако имаме отрицателни стойности на х, е на много отрицателна степен, това се приближава до нула. После е на нулева степен е 1, това тук е 1. Ще изглежда горе-долу така. И после имаме експоненциална част. Това започва да нараства много, много бързо. Да кажем, че това е графиката на е^х. Тя ни показва, че във всяка точка... да кажем, че сме ето тук. Когато х е равно на 0, е на нулева степен е 1, а какъв е наклонът на допирателната тук? Оказва се, че е 1. Удивително! Ако отида в х = 1 ето тук, е на първа степен е просто е. Какъв е наклонът на допирателната в тази точка? Той също е равен на е. Във всяка точка наклонът на допирателната е равен на стойността на функцията в тази точка. Това е удивително! Това е супер интересна характеристика на числото е. Но не това е целта на това видео. Тук искам да изброя някои от производните, които може би ще ти трябват. Накрая, ако търсим производната спрямо х на натурален логаритъм от х, това ще бъде равно на... това също е изумително. Производната е равна на 1/х или на х^(–1). Някак си натуралният логаритъм се е вградил в... когато определяме производната, той запълва празнината, която правилото за производна от степен оставя вакантна, която е, дали има функция, чиято производна да е равна на х^(–1)? Правилото за производна на степен ни дава производни, които могат да са на степен –2 или –3, или х на квадрат, или х на пета степен. Но х на степен минус първа е "вакантно" така да се каже, и това се запълва от логаритъм от х. Не го доказвам тук. Само изброявам тези производни. Ще ги използваме в бъдещите уроци, както и ще ги докажем в бъдещи видеа.