If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Диференциране на векторни функции

Изобразяване на производната на радиус-вектора като функция. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последния видеоматериал постигнахме значително разбиране за това как работят векторните функции или позицията на векторна функция, което е в известен смисъл заместване на традиционното параметризиране при описание на криви И това което искам да направя в това видео е да дам малко повече усещане за това, какво означава да вземеш производна на една векторна функция. В този случай, това ще бъде по отношение на параметъра t И така, нека да начертая една нова координатна система ей тук. Нека кажем, че имаме векторната функция r (t) и тя не е по-различна от тази, която направих в предишното видео. r(t)= X(t).i+Y(t).j Ако прави това в 3 измерения, то ние ще добавим z(t).k но нека нека запазим нещата относително прости и нека кажем, че това описва кривата, и нека кажем, че за кривата с която работим t е между a и b и тази крива ще изглежда като нещо такова, нека дам най-доброто от себе си за да начертая кривата. Аз ще начертая някаква приблизителна крива тук, и така нека кажем, че кривата изглежда ето така. Тива е когато t=a, и тя започва да се движи в тази посока. Това е когато t=b - точно тук, това е t=a и точно тук ще бъде x(a), а точно тук е y(a) и аналогично тук горе е x(b) и това тук е y(b). - В предишния клип видякме, че крайните точки на тези радиус-вектори са това, което описва тави крива Значи, в предишния клип видяхме, че r от а описва тази точка тук Не искам да се връщаме към това в подробности Искам сега да помислим за това, каква е разликата между 2 точки ? Нека взема случайна точка тук Някакво случайно t Да наречем това r от t Всъщност, ще взема друга точка, защото искам да съм малко по-ясен Ще сменя с друг цвят – да кажем, че това тук е r на някаква точка t t ни е тук и това е r от t Това ще ни е положителна стойност Така, това ни е конкретна точка t И сега да кажем, че увеличаваме t с малко с h Да кажем, че r от t плюс h... ами, ако разгледаме параметъра t като време, преместили сме се напред във времето и малката ни частица се е преместила мъничко И да кажем, че сме тук Това тук, в жълто, е r от t плюс h Просто малко по-голяма стойност на h Един въпрос, който можем да си зададем сега, е : колко бързо се променя f по отношение на t ? Първо трябва да кажем : каква е разликата между това е това ? Искам да си представим това Ако взема r, радуис-вектора, който получаваме като изчислим радиуса при t плюс h ; от това ще извадя r от t - И какво получаваме ? Тук може да си преговорите алгебрата с вектори, но ще получим този вектор Нека взема един хубав, ярък цвят Ще получим този вектор тук, който Ще получим този вектор тук, който Значи, този пурпурен вектор тук, нека го начертая, е вектора r от t плюс h минус r от t И това трябва да е логчно за вас, защото когато събираме вектори, главите отиват до опашките Другият вариант е да запишете това като r от t плюс това тук, плюс r от t плюс h минус r от t Ето какво става когато събираме вектори, нека изясня, добавям този вектор до този вектор тук Слагаме опашката на втория вектор до главата на първия Значи, това ни е първия вектор и слагам опашката на втория тук. Сега, сумата на тези два вектора, както предположихме, е равна на този вектор Равна е на r от t плюс h Сега ще видите, по алгебрична логика, че това е това ще се анулират - Надявам се, че това ви стига като обяснение Искам да съм ясен Изведнъж, това вече не ни е радиус-вектор Не си казваме : нека сложим опашката на този вектор в началото и да използваме този вектор, за да опишем едно единствено Това сега ни е един вид чист вектор Той просто описва промяната между два други радиус-вектори - Този вектор буквално описва промяната Но да помислим, какъв алгебричен вид би имамо това ако го разширим ето така Това ще е равно на, какво е r от t плюс h ? Нека го напиша тук. Това е същото като x от t плюс h по единичния вектор и плюс y от t плюс h по единичния вектор j, тази част тук, минус тази част, минус... ще направя това на втория ред, можех да го направя и тук, но ми свършва мястото Минус x от t, r от t е просто x от t по i, плюс... но тук ще разпределя знака минус, значи това е минус y от t по j Всъщност, нека го запиша по този начин, това е минус, плюс това За да видите, че това тук е същото като това Просто пресмятам за t Значи, имаме x от t анд от t и после можем да разпределим, нали така ? Ако разпределип този знак минус, получаваме минус x от t и минус y от t Тук имаме събиране на вектори – може би имате нужда да преговорите това ако не сте попадали на него от много време Знаете, че можете просто да съберете съответните компоненти Можете да съберете x-компонентите и y-компонентите - Това ще е равно на … нека го препиша тук защото мисля, че после ще имам нужда от място Нека го препиша тук Значи, имам r от t плюс х минус r от t е равно... и сега просто ще групирам x и y компонентите – това е равно на x компонентите събрани заедно, но това ни е отрицателно, значи ще извадим това от това Значи, x от t плюс h минус x от t, всичко това по единичния ни вектор в посока x. И после имаме плюс y от t плюс h минус y от t по единичен вектор в посока j Тук просто пренареждам, за да разберем каква е разликата между всеки две r за дадена промяна в разстоянието И промяната ни в разстоянието тук е h между всеки два радиус-вектора Това, което бях намерен да ви покажа в този клип е как да открием промяната и сега работим по моментната промяна по отношение на t Искам да открия, колко се е променило това за период от h Вместо h можехме да напишем делта t и това не би променило нищо Значи, искам да разделя това на h Значи, искам да разделя това на h искам да кажа, че става въпрос за период от h - Това е аналогично на когато се занимаваме с наклона Имаме издигамето върху пистата, върху делта y, или промяната в y върху промяната в x Това е нещо като промяната във функцията ни върху промяната в x Нека разделим всичко. Може би не трябва да казвам промяна в x, а промяна в t Тук, промяната ни в t е h, нали ? Разликата между t плюс h и t ще бъде просто h Значи, ще разделим всичко на h Когато умножаваме вектор по скаларна стойност или делим на скаларна стойност, просто взимаме всеки от компонентите на вектора и умножаваме или делим на скаларната стойност И ето какво получаваме Значи, за всияка крайна разлика h, това това ни показва колко се променя вектора за h Но ако искаме да намерим моментната промяна, както сме правили когато за пръв път сме учили за диференциални изчисления, ето какво ще направим Това е аналогично на сметките за наклон Това би ни свършило добра работа, ако въпросната траектория имаше такъв вид Ако беше линейна траектория и изглеждаше ето така Тогава можехме просто да пресментнем и да получим средната промяна в радиус-векторите, можете да си представите - два радиус вектора и това е единият от тях Всъщност, те вскички биxа били успоредни в този случай Но не е задължиделно радиус-векторите да са успоредни Биха могли да изглеждат така И тогава, това би описало просто промяната между тези два вектора за h или колко бързо тези радиус-вектори се променят за промяната в параметъра ни. Нали ? Това ни е h или, ако предпочитате, делта t Някои хора намират h за по-лесно, а други – делта t Както и да е, интересува ме моментната промяна Имаме криви и имаме висша математика Това би било добре, ако имахме само алгебричен, линеен свят Значи, какво правим ? Значи, какво правим ? Нека се преместя Нека вземем тази граница. Искам да взема един хубав цвят, но ми свършват цветовете Границата, когато h се приближава до 0 от двете страни Тук също ще взема границата, когато h се приближава към 0 и тук също ще взема границата, когато h се приближава към 0 Тук искам да кажа, колко промяна имаме за промяна в параметъра t, но и каква е моментната промяна когато разликата става все по-малка и по-малка ? Точно това учихме, когато се занимавахме с моментен наклон или моментна скорост, или наклон на допирателна линия Това в момента ми изглежда неопределено При функции с векторни стойности нямаме определени граници и определени производни Но за щастие, всичко това ни изглежда познато Това всъщост е опредениението за производната ни Ако това тук са функции със скаларни стойности Те са умножени по вектори, за да получим функции с векторни стойности Но това тук, по дефиниция, ни е производната Това е x прим от t Или, това е dx dt Това тук е y прим от t, или можем да го запишем и като dy dt Значи, това всъщност не е неопределено Обясненията ми са малко тромави, но тук искам просто да мотивирам интуицията ви Можем да наречем този израз производната на векторната функция r по отношение на t, или можем да го наречем dr dt Забележете, че съм оставил знаците за вектор Това е производната, r прим от t и, като такава, ще е равна просто на производната на x x по отношение на t, което е равно на x прим от t по единичния вектор x, хоризонталния единичен вектор, плюс y прим от t, по единичния вектор y, по j, единичния вектор в хоризонталната посока Това е доста приятен резултат Но може би трудната част е да си представите визуално какво означава Нека начертая една голяма графика, за за може да визуализирате това по-добре Нека кривата ми бъде нещо такова Това ми е кривата И да кажем, че търсим моментната промяна в ето тази точка Значи, това е r от t И после взимаме r от t плюс h, вече видяхме, че t плюс h може би е нещо такова Значи, това е r от t плюс h Сега, разликата между двете... това ни е числителят когато вземем разликата Колко бърза е промяната от този вектор до този вектор по отношение на t? Знам, че е трудно да визуализирате това Ще запиша цял клип, за да обърна по-голямо внимание Ще запиша цял клип, за да обърна по-голямо внимание Това може би е някакъв вектор Значи, разликата между тези две неща ще ни бъде това Но после, когато разделим на h, ще се получи по-голям вектор, нали – ако предположим, че h е малко число Да кажем, че h е по-малко от 1 Ще получим по-голям вектор, нали ? Но това е един вид средната промяна за това време Но когато h става все по-малко и по-малко, това r прим от t ще заеме посока, допирателна на тази крива Това можете да си го представите, нали ? Тези два вектора се приближават все повече един до друг dr намалява или разликата между тези две делта r става все по-малка Можете да си представите ако h беше дори по-малко, ако беше тук Изведнъж, разликата между тези два вектора става все по-малка И все по-допирателна на тази крива - Но също делим на по-малко h, значи всущност производната, като границата когато h се приближава до 0, може дори да бъде по-голямо число Всъщност, малко е трудно да си представим големината на този вектор Ще зависи от параметризацията на кривата Не зависи от формата на кривата Посоката на този вектор зависи от формата на тази крива и тази посока ще бъде допирателна на кривата Можете също да си представите, че този вектор е върху допирателната права на тази крива Големината на вектора е по-трудна за разбиране В следващия клип ще опитам да ви дам малко интуиция за нея Но това е нещото, което искам да разберете сега, защото ще можем да го използваме в бъдеще, когато се занимаваме с линейна интеграва на векторни функции -