Доказване на правилото за диференциране на степени

В това видео искам да видя дали правилото за производна от степен дава логични резултати. Това не е доказателство на правилото за производна от степен, но ще се чувстваме по-комфортно, когато го ползваме. Да кажем, че f(x) = х. Правилото за производна от степен ни казва, че f прим от х ще бъде равно на какво? х е същото нещо като х на първа степен. Тук n се подразбира като 1. Изкарваме 1 отпред. Ще бъде 1 по х на степен 1 минус 1. Това ще бъде 1 по х на степен 0. х на степен 0 е просто 1. Ще бъде равно просто на 1. Това логично ли е, ако се опитаме да визуализираме тези функции? Нека се опитам да начертая тези функции. Това е моята ос у. Това ми е оста х. Нека начертая графиката у равно на х. у е равно на f(x). y равно на х. Изглежда горе-долу така. у е равно на х. Това е f(x) = х, т.е. у е равно на това f(x). Сега нека нарека това f(x), за да не те обърквам. Това тук e f(x) равно на х, което начертах тук. у е равно на f(x), което е равно на х. Сега нека начертая производната. Нека начертая f прим от х. Тя е 1. Тя е 1 за всяко х. Без значение какво ще е х, тя ще е равна на 1. Това съвпада ли с това, което знаем за производните, наклоните и т.н.? Да разгледаме нашата функция. Какъв е наклонът на допирателната в тази точка? Точно тук наклонът постоянно е 1. Има постоянен наклон 1. Наклонът е равен на 1, без значение какво е х. Това е права. Наклонът на права е константа. Тук наклонът наистина е 1. Ако погледнем тази точка, наклонът наистина е 1. Имаме доста добър отговор тук. Нека сега пробваме нещо, чийто наклон може да се промени. Да кажем, че имаме g(x) = х^2. Правилото за степента ни казва, че g прим от х ще е равно на какво? n е равно на 2. Ще бъде 2 по х на степен 2 минус 1. Ще получим 2х на първа степен. Равно е на 2х. Да видим дали това е логично. Ще се опитам да начертая това малко по-точно. Да видим колко прецизно мога да го начертая. Това е оста х, оста у. Нека отбележа няколко неща. Това е 1, 2, 3, ,4 ,5. Това е 1, 2, 3, 4. 1, 2, 3, 4. g(х). Когато х е 0, получаваме е 0. Когато х е 1, получаваме е 1. Когато х е –1, получаваме е 1. Когато х е 2, получаваме е 4. Стигаме ето тук... 1, 2, 3, 4. Стигаме ето тук. Когато х е –2, получаваме 4. Това е парабола. Показвали сме това много пъти. Сложих тази точка малко по-високо. Изглежда горе-долу така. Всъщност последните две точки, които начертах, са малко странни. Това може би е тук. Изглежда горе-долу така. После когато стигнем тук, ще изглежда ето така. Симетрично е. Давам всичко от себе си, за да го начертая добре. Готово. Това е графиката на g(x) = х^2. Нека начертая g прим от х или каквото ни казва верижното правило, че е g прим от х. g прим от х е равно на 2х. Това е просто права, която минава през началото и има наклон 2. Изглежда ето така. Когато х е равно на 1, у е равно на 2. Когато х е равно на 2, у или g(х) e равно на 4. Изглежда горе-долу така. Нека се опитам да начертая права линия. Изглежда горе-долу така. Това изглежда ли логично? Ако го погледнеш набързо, ако погледнеш тази точка тук и искаш да разгледаш наклона на допирателната... Нека го направя с малко по-изпъкващ цвят. Допирателната ще изглежда горе-долу така. Изглежда, че има сравнително висок отрицателен наклон. Да. Определено е отрицателен наклон и то доста стръмен отрицателен наклон. При х равно на –2, g прим от –2 е равно на 2 по –2, което е равно на –4. Това твърди, че наклонът в тази точка... Това тук е –4. Твърди, че наклонът в тази точка е –4. m е равно на –4. Това изглежда добре. Доста стръмен отрицателен наклон. Какво се случва ето тук, когато х е равно на 0? Нашата производна, g прим от 0, ни казва, че наклонът на първоначалната функция g при х = 0 е 2 по 0, което е 0. Това логично ли е? Ако отидем при първоначалната ни парабола, изглежда, че наистина е логично. Това е наклонът на допирателната. Допирателната изглежда горе-долу така. Ние сме в точка на минимум. Ние сме във връх. Наклонът наистина изглежда, че е 0. Ами ако отидем тук при х = 2, колко е наклонът на допирателната? Тук допирателната изглежда ето така. Изглежда доста стръмен положителен наклон. Какво ни казва производната според правилото за производна от степен? По същество казва: "Кажи ми какъв е наклонът на допирателната към g, когато х е равно на 2?" Намерихме го. Той ще бъде 2 по х. Ще бъде 2 по 2, което е равно на 4. Казва ни, че наклонът тук е 4. Просто използвам m. m се използва често за отбелязване на наклон. Казва, че наклонът на допирателната тук е 4, което изглежда напълно логично. Насърчавам те да пробваш самостоятелно. Намери такива наклони, като вземаш различни точки по-близо и по-близо около тези точки. Ще видиш, че правилото за производна от степен наистина дава резултати, които са логични.