Доказване на правилото за диференциране на степен за функция, съдържаща корен квадратен

Поискаха ми да направя доказателството на производната на корен квадратен от х, затова реших да направя кратко видео върху доказателството на производната на корен квадратен от х. От дефиницията за производна знаем, че производната на функцията корен квадратен х е равна на... Нека сменя цветовете, за да има разнообразие. Равна е на границата при Δх, клонящо към 0... Знаеш, че някои хора пишат h, клонящо към 0, или d, клонящо към 0. Аз просто използвам Δх. Изменението на х клони към 0. Тогава казваме, че f(х) плюс Δх... В този случай това е f(x). Корен квадратен от х + Δх – f(x), което в този случай е корен квадратен от х. Всичко това върху изменението на х, т.е. върху Δх. Сега, когато погледна това, няма много неща, които мога да опростя, за да излезе нещо по-смислено. Ще умножа числителя и знаменателя по спрегнатото на числителя. Нека запиша какво точно имам предвид. Границата е Δх, клонящо към 0... Просто преписвам това тук. Корен квадратен от х + Δх минус корен квадратен от х. Цялото това върху Δх. Ще умножа това, след като сменя цветовете. По корен квадратен от х + Δх, плюс корен квадратен от х, върху корен квадратен от х плюс Δх, плюс корен квадратен от х. Това е просто 1, затова мога да го умножа по... Ако приемем, че х и Δх не са 0, това е дефинирано число и то ще е 1. Можем да направим това. Това е 1/1. Просто го умножаваме по този израз и получаваме границата при Δх, клонящо към 0. Това е (а – b) по (а +b). Нека запиша нещо отстрани. Да кажем, че (а + b)(а – b) е равно на а^2 – b^2. Това е (а + b)(а – b). Ще бъде равно на а^2. Колко е тази величина на квадрат или тази величина? И двете са моите а. Това ще бъде просто х + Δх. Получаваме х + Δх. А колко е b на квадрат? В този случай минус корен квадратен от х е b. Корен квадратен от х на квадрат е просто х. Всичко това върху Δх по корен квадратен х плюс Δх плюс корен квадратен от х. Да видим какво опростяване можем да направим. Имаме х и после –х, следователно те се съкращават. х –х. После в числителя и в знаменателя ни остава... Имаме Δх тук и Δх тук, затова хайде да разделим числителя и знаменателя на Δх. Това става 1 и това става 1. Това е равно на границата... Ще го направя по-малко, защото ми свършва мястото. Границата при Δх клонящо към 0 на 1 върху... Разбира се можем да направим това само, приемайки, че делта... Започнахме да делим на Δх, защото знаем, че то не е 0. То просто клони към 0. Получаваме корен квадратен от х + Δх, плюс корен квадратен от х. Сега можем директно да сметнем границата, когато тя клони към 0. Просто можем да заместим Δх с 0, тъй като клони към това. Тогава това е равно на 1 върху корен квадратен от х, Δх е 0, затова можем да го игнорираме. Можем да сметнем производната чак до 0. После това е просто корен квадратен от х плюс корен квадратен от х, което е равно на 1 върху 2 пъти корен квадратен от х. Това е равно на 1/2х на степен –1/2. Току-що доказахме, че производната на х на степен 1/2 е 1/2х на степен –1/2, което съвпада с основното свойство, където производната... Да кажем... Производната на х на степен n е равно на nx на степен n –1, дори в този случай, когато n беше 1/2. Надявам се, че това е задоволително. Не го доказах за всички дроби, но това е начало. Виждаш, че това е общ пример – корен квадратен от х. Надявам се, че не ти е много сложно за доказателство. Ще се видим в бъдещи видеа.