Доказване на правилото за диференциране на степени, когато степенният показател е цяло положително число

Направих няколко видеа върху биномната теорема и мисля, че сега като са готови, е добър момент да докажем производната на общия вид. Нека намерим производната на х на степен n. Тъй като вече познаваме биномната теорема, можем да я използваме, за да намерим производната. Как да намерим производната? Каква е класическата дефиниция за производна? Тя е границата при делта х, клонящо към 0, на f от х плюс делта х, нали? f от х плюс делта х в този случай е х плюс делта х на степен n, нали? Минус f от х, което тук е просто х на степен n. Всичко това върху делта х. След като знаем биномната теорема, можем да разкрием скобите на х плюс делта х на степен n. Ако не знаеш биномната теорема, се върни на плейлиста за въведение в математическия анализ и гледай видеата върху биномната теорема. Биномната теорема ни казва, че това е равно на... Ще ми трябва малко място за това... На границата при х, клонящо към 0... Какво ни казва биномната теорема? Това ще бъде равно на... Ще направя числителя. х на степен n плюс n над 1. Отново казвам да си преговориш биномната теорема, ако това ти изглежда като латински, а не знаеш латински. n над 1 от х на степен n минус 1 Δх плюс n над 2 х на степен n минус 2Δх квадрат. После плюс... Имаме разни цифри и в това доказателство няма нужда да минаваме през всичките, но биномната теорема ни казва какви са те и разбира се, последната цифра, която добавяме, ще бъде 1. n над n, което е 1. Нека само запиша това. n над n. Ще бъде х^0 по Δх^n. Това е биномното разкриване. Нека се върна до минуса. Зеленото е x плюс Δх на степен n. Следователно минус х^n. Това е х на степен n. Знам, че го смачках. Всичко това върху Δх. Да видим дали можем да опростим. Първо имаме х на степен n, а в края изваждане x на степен n, следователно тези двете се съкращават. Ако разгледаме всеки член, всеки член в числителя има делта х, следователно можем да разделим числителя и знаменателя на Δх. Това е същото като 1/Δх по цялото това нещо. Това е равно на границата при Δх, клонящо към 0, от... Разделяме горното и долното на Δх или умножаваме числителя по 1/Δх. Получаваме n над 1 по х на степен n –1. Колко е Δх делено на Δх? Просто 1. Плюс n над 2 х на степен n – 2. Това е Δх квадрат, но тъй като делим на Δх, тук получаваме Δх. Δх. После продължаваме да имаме много елементи, като ще разделим всичките на Δх. Последният член е Δх на степен n, който ще разделим на Δх. Последният член става n над n х на степен 0, което е 1. Можем да пренебрегнем това. Δх на степен n делено на Δх. Това е Δх на степен n – 1. Какво правим сега? Запомни, че търсим границата при Δх, клонящо към 0, горе-долу всеки член, който има Δх в него, става 0. Когато умножим по 0, получаваме 0. Първият член няма Δх в него, но всеки друг член има. Всеки друг член, дори след като разделим на Δх, съдържа Δх. Това е 0. Всеки член е 0, всичките елементи n – 1, всички са нули. Остава ни само, че това е равно на n над 1 по х на степен n – 1. А какво е n над 1? Това е равно на n факториел върху 1 факториел делено на n – 1 факториел по х на степен n – 1. 1 факториел е 1. Ако имаме 7 факториел делено на 6 факториел, това е просто 7. Или ако имаме 3 факториел делено на 2 факториел, това е просто 3, виждаш логиката. 10 факториел делено на 9 факториел е 10. n факториел делено на n – 1 факториел, това е просто n. Това е равно на n по х на степен n – 1. Това е производната на х на степен n. n по х на степен n – 1. Току що доказахме производната за всяко положително цяло число за х на степен n, където n е всяко положително цяло число. А по-нататък ще видим, че действа за всички реални числа и степени. Ще се видим в бъдещо видео. Друго нещо, което исках да отбележа, е че казах, че трябва да знаеш биномната теорема. Но ако се замислиш, всъщност не ни се налагаше да я знаем, защото знаем, че във всяко биномно разкриване... Е, трябва поне малко да знаеш... Но ако експериментираш малко, ще разбереш, че когато и да разкриваш (a + b) на степен n, първият член ще бъде а на степен n, а вторият член ще бъде плюс n a на степен n –1 b. После ще продължаваш да имаш още елементи. Но това са единствените елементи, които са важни за това доказателство, защото всички останали се съкращават, когато Δх клони към 0. Така че, ако знаеше, можеше да го направиш така, макар че е много по-добре да го направиш с биномната теорема. Игнорирай това, което току-що казах, ако те обърквам. Просто казвам, че можехме да кажем, че останалите елементи стават нули. Надявам се, че това е удовлетворяващо за теб. Ще се видим в бъдещи видеа.