Доказателство: Производната на 𝑒ˣ е 𝑒ˣ

Числото 'е; има множество интересни свойства. Да преговорим – можеш да го определиш като граница. Границата, докато n доближава безкрайност, на (1 + 1/n)^n, Можеш също да го определиш като границата, докато n доближава 0, на (1 + n)^1/n. В това видео ще се фокусираме върху едно удивително свойство на 'е', а то има множество удивителни свойства, но това е свойството, което може би е най-важното за висшата математика. Това е идеята, че ако взема производната по отношение на х на е^х, тогава е равно на – барабани, моля – равно е на е^х. Смятам това за удивително. Нека му се възхитим за секунда, преди да го докажем. Това е част от графиката на у = е^х. И това ни казва, че производната на е^х за всяко х е равна на е^x! Ъгловият коефициент на допирателната права при всяка точка тук е равен на стойността на функцията. Нека оценим това. Стойността на функцията тук е 1 и ъгловият коефициент на допирателната права е 1. Тук стойността на функцията е 2 и ъгловият коефициент на допирателната права е 2. Тук стойността на функцията е 4 и ъгловият коефициент на допирателната права е равен на 4. Мога да продължа, това е друго удивително нещо за е, и ще виждаме много повече във висшата математика, но нека сега докажем, че това наистина е вярно. Нека използваме определението си за производна. Производната по отношение на х на е^х ще е границата на делта х или докато делта доближава 0 на е^(х + делта х) - е^х и всичко това върху делта х. Нека сега направим някои алгебрични действия, за да видим дали можем да намерим някаква логика. Това ще е равно на границата, докато делта х доближава 0, на, да видим какво се случва. Няма да пропускам стъпки тук. Това е същото нещо като е^х по е^делта х – тук просто използвам свойствата на степенния показател – минус е^х, върху делта х. Да поясня, преобразувах това тук в това ето тук. Сега мога да изнеса е^х и, всъщност понеже е^х не бива повлияно, докато делта х доближава 0, мога да изнеса е^х извън цялата граница. Нека направя това, нека взема е^х и да го изнеса извън цялата граница, да го изнеса напълно. То не бива засегнато от делта х. Това ще е равно на – изнасяме това е^х – е^х по границата, докато делта х доближава 0, на е^(делта х) - 1, всичко това върху делта х. Сега малко ще си поиграем с границите. Ще направим нещо, което е познато като промяна на променлива. Да видим, не знам как директно да намеря тази граница ето тук, но може би мога да я опростя и, кой знае, може би мога да стигна до една от тези форми тук. А ако направя заместването... нека го направя ето тук. Да кажем, че направя заместването, че n = е^(делта х) - 1. Колко ще е това, ако трябва да намерим делта х? Да видим, мога да добавя 1 към двете страни, n + 1 = е^(делта х). За да намерим делта х, можем просто да вземем естествения логаритъм, логаритъм при основа е от двете страни. И ще получим, че естествения логаритъм на n + 1 = делта х. И можем да направим това заместване, това може да бъде заместено с това, а това, което е в числителя тук, може да бъде заместено с n и какво ще се случи с границата? Докато делта х доближава 0, какво доближава n? Това че делта х доближава 0 подсказва, че n доближава колко? Да видим, докато делта х доближава 0, това ще е е^0, което е 1 - 1, тоест изглежда n доближава 0. И можеш да погледнеш това тук, докато n доближава 0, ето тук, естествен логаритъм от 0 + 1, естествен логаритъм от 1 – това е 0. Докато всяко от тях, докато делта х доближава 0, n доближава 0, докато n доближава 0, делта х доближава 0. После, ако направиш промяната на променливата, можеш да заместиш делта х с n и все още можеш да кажеш, докато n доближава 0. Нека преобразувам всичко това. Това беше най-сложната стъпка в цялото това нещо, което ще направим. Това ще е e^х по границата, след като променихме променливите, сега това ще е докато n доближава 0, понеже докато делта х доближава 0, n доближава 0, и обратно. И този числител тук ще е равен на n върху... делта х сега е естествен логаритъм от n + 1, In (n + 1). Какво върши това за нас? Ако разделим числителя и знаменателя на n? Нека умножим тук долу по 1/n и да умножим тук горе по 1/n. Числителят ни е просто равен на 1. На колко е равен знаменателя? Тук можем просто да използваме свойствата на степенните показатели. Всичко това ще е равно на... имаме е^х отпред, е^х и после имаме границата, докато n доближава 0, и числителят ни сега е 1, и ще преобразувам това, като използвам логаритмичните свойства. Ще го направя ето тук. Ако имам а по естествен логаритъм b, това е същото нещо като естествен логаритъм от b^а, това е просто от свойствата на естествения логаритъм. Това ще е същото нещо като естествен логаритъм n+1 – нека го запиша по другия начин – 1+n, просто смених местата им, (1+n)^(1/n), тоест естествения логаритъм на цялото това нещо. Сега може да започнеш да чувстваш гъделичкащо умение, понеже нещо започва да изглежда познато. Това, което построих в логаритъма, изглежда много подобно на това, което имаме тук. И границата, докато n доближава 0. Можем да използваме свойствата на границата, това не е засегнато, а нещото, което е засегнато, е онова, което е в логаритъма. Тоест можем да кажем, че това ще е равно на... и доближаваме края и барабаните, е^х по (1 върху естествения логаритъм...– ще направя това в синьо и ще си дам малко място – границата, докато n доближава 0, от това ето тук, което мога да запиша като (1 + n)^(1/n). Това е много интересно. Какво е това? Какво имам тук в знаменателя с тази граница? На колко е равно това? Вече казахме, това е определение на е. Това е това ето тук, което е равно на това ето тук. Това е равно на е. До колко се свежда всичко това? Мисля, че виждаш накъде вървим, но това е забавно, вече сме близо. Това е e^n по 1/In(e). При In(e) на каква степен трябва да повдигна е, за да получа е? Просто трябва да го повдигна на степен 1. Тоест това ни дава е^х и сме готови. Доказахме, че производната по отношение на х на е^х наистина е равна на е^х. Това е удивително откритие, което ни показва още едно измерение на красотата на числото е.