Доказателство: производната на ln(x) е 1/x

В това видео ще докажем, че производната по отношение на х на естествения логаритъм на х е равна на 1/х. Нека започваме. Просто като използваме определението за производна, ако кажа производната по отношение на х на естествен логаритъм на х, това ще е границата, докато делта х доближава 0 на естествен логаритъм х + делта х минус естествения логаритъм на х. Всичко това е върху делта х. Можем да използваме няколко логаритмични свойства. Знаем, че ако имам естествен логаритъм от а, минус естествен логаритъм от b, това е равно на естествен логаритъм от a/b. И можем да използваме това тук, където имам естествен логаритъм от нещо, минус естествения логаритъм на друго нещо. Всичко това ще е равно на границата, докато делта х доближава 0 от естествен логаритъм на това, разделено на това. Тоест х + делта х, върху х. х + делта х, върху х и всичко това върху делта х. И нека го запиша по този начин. Всичко това върху делта х. И ако имам естествения логаритъм на това минус естествения логаритъм на това, то е същото като естественият логаритъм на първия израз, разделен на втория израз. Това произлиза директно от логаритмичните ни свойства. В самия логаритъм, х делено на х е 1. И после делта х делено на х, можем просто да запишем това като делта х върху х. Това е друг начин да запишем това. И после можем да поставим 1/делта х отпред. Можем да кажем, че това е същото нещо като... това е равно на границата, докато делта х доближава 0 – ще направя това в друг цвят. Мога да преобразувам това като 1/делта х по естествения логаритъм на 1 + (делта х върху х). Нека затворя тези скоби. Сега можем да използваме друго свойство на степенния показател. Ще го запиша тук. Ако имам а по естествен логаритъм b, това е равностойно на естествен логаритъм b^а. Тук в този случай това ще е а. Така че мога да извадя това и да го направя степенен показател на това. Тоест всичко това ще е равно на границата, докато делта х доближава 0, на естествен логаритъм от – ще си дам малко пространство – 1 + делта х/х на степен 1/делта х. Това може да започне да ти изглежда познато, може да започне да изглежда приблизително еднакво с определението на е. И наистина се доближаваме към него. За да стигнем напълно дотам ще направя промяна на променливата. Ще кажа: "Нека поставим n = делта х/х." Делта х/х. В този случай, ако после умножиш двете страни на х, делта х е равно на nх. Отново, просто умножавам двете страни на това уравнение по х и премествам това тук встрани. И после ако искаш 1/делта х, 1/делта х, това ще е равно на 1/nx, което можем да запишем и като 1/n по 1/х. Или нека го запиша така. Това е начинът, по който искам да го запиша. Всички тези са замествания, които искам да направя, когато променям променлива. Също искаме да кажем... Докато делта х доближава 0, колко ще доближи n? Докато делта х доближава 0, n също ще доближи 0. 0/х ще е просто 0 за всяко х, което не е равно на 0. И това е добре, понеже 0 дори не е в дефиниционното множество на естествен логаритъм от х. Това ще върши работа за нашето дефиниционно множество. Делта х доближава 0, n доближава 0. И можеш да помислиш за това и по обратния начин – докато n доближава 0, делта х доближава 0. Нека направим промяната на променливата си. Ако направим заместванията, вместо да взимаме границата, докато делта х доближава 0, сега ще вземем границата, докато n доближава 0, на естествения логаритъм от – нека сложа скоби. И ще кажа – 1 плюс – и това сега е същото нещо като n. 1 + n. И после всичко това ще е повдигнато на степен (1/n по 1/х), на толкова е равно делта х. Това тук е 1/делта х – това, което имаме тук. И това е същото нещо като 1/n по 1/х. Нека запиша това. Това е същото нещо като 1/n по 1/х. Сега можем да използваме същото правило на степенния показател, за да направим това по обратния начин. Нека просто препиша това още веднъж. Това ще е същото нещо като границата, докато n доближава 0, на естествения логаритъм от 1 + – ще запиша това в оранжево. (1 + n)^(1/n). Ако повдигна нещо на степенен показател, а това е по нещо друго, това е същото нещо като да го повдигна на първия степенен показател. И после да повдигна това на втората стойност. Това, отново, произлиза от свойствата на степенния показател. И сега можем да използваме това свойство по обратния начин, за да извадим това 1/х отпред. Но всъщност самото 1/х не бива засегнато, докато n доближава 0. Така че можем да го извадим напълно извън границата. Можем да го извадим ето тук. И сега трябва да започнеш да се вълнуваш. Това ще е равно на 1/х по границата, докато n доближава 0, на естествения логаритъм от 1 + n... Ще направя това в оранжево. (1 + n)^(1/n). Всъщност бива повлияно това, което се случва в естествения логаритъм. Там се намират всички n. Нека извадим границата. Всичко това ще е равно на – нека си дам малко място. Малко допълнително място на дъската. Това ще е равно на 1/х по естествения логаритъм на границата, докато n доближава 0, на (1 + n)^(1/n). Затваряме скобите. Това е вълнуващо. Какво имаме тук в естествения логаритъм? Всичко това тук е определение на числото е. Това е равно на е. Какъв е естественият логаритъм от е? Това е просто 1. Така че това е 1/х по 1. Това наистина е равно на 1/х. Това е точно резултатът, който търсехме. Това е производната по отношение на х на естествения логаритъм от х – 1/х. Много вълнуващо.