Основно съдържание

Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017)

Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 2

Урок 22: Правило за диференциране на частно на две функции

Обобщение на правилото за диференциране на частно от функции

Провери познанията си върху правилото за диференциране на частно от функции и го използвай за решаване на задачи.

Какво е правилото за диференциране на частно от функции?

Правилото за диференциране на частно от функции ни казва как да диференцираме изрази, които са частното на два по-прости израза:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction

Взимаме производната на f, умножена по g, изваждаме f, умножена по производната на g, и разделяме всичко това на open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared.

Искаш ли да научиш повече за правилото за диференциране на частно от функции? Гледай това видео.

Какви задачи могат да се решават с правилото за диференциране на частно от функции?

Пример 1

Разгледай следното диференциране на start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, end fraction:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin(x)}{x^2}\right) \\\\ &=\dfrac{\dfrac{d}{dx}(\sin(x))x^2-\sin(x)\dfrac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}&&\gray{\text{Правило за диференциране на частно}} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)\cdot x^2-\sin(x)\cdot 2x}{(x^2)^2}&&\gray{\text{Диференцирай }\sin(x)\text{ и }x^2} \\\\ &=\dfrac{x\left(x\cos(x)-2\sin(x)\right)}{x^4}&&\gray{\text{Опрости}} \\\\ &=\dfrac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}&&\gray{\text{Съкрати общ множител}} \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 1

Електричен ток

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, e, start superscript, x, end superscript, end fraction

f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Искаш ли да решиш други подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Пример 2

Да предположим, че ни е дадена тази таблица със стойности:

x	f, left parenthesis, x, right parenthesis	g, left parenthesis, x, right parenthesis	f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis	g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4	minus, 4	minus, 2	0	8

H, left parenthesis, x, right parenthesis е дефинирана като start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction и се търси H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.

Правилото за диференциране на частно от функции ни казва, че H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis е start fraction, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. Това означава, че H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis е start fraction, f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. Хайде сега да заместим стойностите от таблицата в израза:

\begin{aligned} H'(4)&=\dfrac{f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{[g(4)]^2} \\\\ &=\dfrac{(0)(-2)-(-4)(8)}{(-2)^2} \\\\ &=\dfrac{32}{4} \\\\ &=8 \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 1

Електричен ток

x	g, left parenthesis, x, right parenthesis	h, left parenthesis, x, right parenthesis	g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis	h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 2	4	1	minus, 1	2

F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, g, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction

F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals

Искаш ли да решиш други подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.