Нормала към графиката на функцията y=𝑒ˣ/x²

Дадена е функцията f(x), която е равна на e^x върху x^2. Искам в настоящия урок да намеря уравнението, но не на допирателната, а уравнението на нормалата в точката, където x e равно на 1. Следователно ни интересува уравнението на нормалата. Окуражавам те да спреш видеото и да опиташ да решиш задачата самостоятелно. Ако се нуждаеш от малко помощ, то помощта, която ще ти дам, е, че наклонът на нормалата ще бъде реципрочен и с обратен знак на наклона на допирателната. Ако си представиш крива като тази, и искаме да намерим допирателна в дадена точка, която ще изглежда като нещо такова. Допирателната ще изглежда по подобен начин. Нормалата е перпендикулярна на допирателната. Това е допирателната. Нормалата ще бъде перпендикулярна на тази права. Ще изглежда ето така. И ако допирателната има наклон m, то нормалата има наклон, който е реципрочен и с обратен знак на m. Тоест нормалата има наклон –1/m. С това като малко помощ, те окуражавам да намериш уравнението на нормалата към тази крива, когато x e равно на 1. Нека да намерим наклона на допирателната. После ще вземем неговата реципрочна стойност с обратен знак и ще намерим наклона на нормалата. За да намерим наклона на допирателната, просто ще намерим производната на функцията и ще я изчислим за x равно на 1. Записваме f'(x)...Всъщност, нека да запиша функцията малко по-различно. f(x) е равно на e^x, умножено по x на степен –2. Предпочитам да го запиша по този начин, защото винаги забравям цялото правило за намиране производна на частно. Много повече ми допада правилото за намиране производна на степен. Този израз ми позволява да използвам правилото за намиране производна на степен. О, съжалявам! Не става дума за правилото за намиране производна на степен, а за правилото за намиране производна на произведение. Тоест този запис на функцията ми позволява да приложа правилото за намиране производна на произведение, а не на частно. Производната на функцията f'(x) ще бъде производната на e^x, което е просто e^x, умножено по x на степен –2, плюс e^x, умножено по производната на x на степен –2. Последното е равно на –2x на степен –3. Току-що приложих правилото за намиране производна на степен ето тук. Ако искам да изчисля производната, когато x е равно на 1, този израз ще бъде равен на... Нека да запиша това в този жълтеникав цвят. Харесва ми да сменям цветовете. Този израз ще бъде равен на... Нека да видим. Това ще бъде e на степен 1, което е просто e и умножено по 1 на степен –2, което е просто 1, плюс e на степен 1, което е просто e, умножено по –2. 1 на степен –3 е просто 1. Остава е умножено по –2. Нека да го запиша по следния начин. И така, накрая се получава –2e. e –2е просто е равно на –е. Следователно този израз тук е наклонът на допирателната. Ако искаме наклона на нормалата, просто следва да вземем реципрочната стойност на получения наклон с обратен знак. Реципрочната стойност на този израз с обратен знак ще бъде... Реципрочната стойност е равна на 1 върху –е, а ние искаме да получим отрицателната на тази стойност. Тоест тя ще бъде 1/e. Това ще бъде наклонът на нормалата. Наклон на нормалата. Тогава ако... А нашата цел не е просто да намерим наклона на нормалата. Искаме да намерим уравнението за наклона на нормалата. Знаем, че уравнението на права може да бъде представено като y = mx + b, където m е наклонът. Следователно може да кажем, че ще бъде y е равно на 1/е... спомни си, че става дума за нормалата... умножено по x плюс b. И за да намерим b, просто искаме да използваме точка, през която знаем, че нормалата минава. Минава през точката x = 1. А когато x = 1, на колко е равно y? Е, y е просто 'e' на степен 1 върху 1, което е просто равно на 'е'. Следователно нормалата минава през точката (1; e). Знаем, че когато x е равно на 1, y е равно на e. Сега можем да изразим b. Получаваме e = 1/e + b. Може да извадим 1/е от двете страни и ще получим b = e – 1/e. Очевидно можем да запишем това като (е^2 минус 1)/e, ако искахме. Можем обаче и просто да го оставим в този вид. Уравнението на нормалата... заслужаваме похвали тук – ще бъде y = 1/e, умножено по x, плюс b. A b е равно на ето този израз. Така че записваме плюс е –1/е. И ето това тук е нашето уравнение на нормалата.