Основно съдържание

Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017)

Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 2

Урок 15: Диференциране на ирационални функции (въведение)

Преговор върху правилото за диференциране на степени

Провери познанията си върху правилото за диференциране на степени и решавай задачи, като го използваш.

Какво е правилото за диференциране на степени?

Правилото за диференциране на степени ни казва как да диференцираме изрази като x, start superscript, n, end superscript (с други думи, изрази съдържащи x, повдигнато на някаква степен):

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, x, start superscript, n, end superscript, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript

По същество взимаш степенния показател и го умножаваш по израза, после го намаляваш с 1.

Искаш ли да научиш повече за правилото за диференциране на степенна функция? Гледай това видео.

Диференциране на многочлени

Правилото за диференциране на степенна функция, заедно с по-базовите правила за диференциране, ни позволяват да диференцираме всеки многочлен. Да разгледаме например многочлена 3, x, start superscript, 7, end superscript. Можем да го диференцираме по следния начин:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}[3x^7]&=3\dfrac{d}{dx}(x^7)\quad\gray{\text{Правило за диференциране на произведение с константа}} \\\\ &=3(7x^6)\quad\gray{\text{Правило за диференциране на степенна функция}} \\\\ &=21x^6 \end{aligned}

Задача 1

Електричен ток

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x, squared

f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Искаш ли да решиш други подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Диференциране на отрицателни степени

Правилото за диференциране на степенна функция ни позволява да диференцираме изрази като start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, което е просто x, повдигнато на отрицателна степен. Разгледай диференцирането на start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)&=\dfrac{d}{dx}(x^{-2})\quad\gray{\text{Записваме като степен}} \\\\ &=-2\cdot x^{-3}\quad\gray{\text{Правило за диференциране на степенна функция}} \\\\ &=-\dfrac{2}{x^3}\quad\gray{\text{Записваме като дроб}} \end{aligned}

Задача 1

Електричен ток

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, start fraction, minus, 2, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, minus, x, right parenthesis, equals

Искаш ли да решиш други подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Диференциране на дробни степени и корени

Правилото за диференциране на степенна функция ни позволява да диференцираме също така и изрази като square root of, x, end square root or x, start superscript, start superscript, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, end superscript, end superscript. Разгледай диференцирането на square root of, x, end square root:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\sqrt x&=\dfrac{d}{dx}\left(x^{^{\Large\frac{1}{2}}}\right)\quad\gray{\text{Записваме като степен}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot x^{^{\Large-\frac{1}{2}}}\quad\gray{\text{Правило за диференциране на степенна функция}} \\\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt x}\quad\gray{\text{Записваме като корен}} \end{aligned}

Задача 1

Електричен ток

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, x, start superscript, start superscript, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, end superscript, end superscript

f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж тези упражнения:

Диференциране на дробни степени
Въведение в диференцирането на функции съдържащи корени

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.