Диференциране на рационални функции

Да кажем, че у е равно на 5 – 3х върху х^2 + 3х. Искаме да намерим производната на у спрямо х. Веднага може би ще забележиш, че у е дефинирано като рационален израз, като частно от два различни израза. Можем дори да разгледаме това като две различни функции. Можем да разгледаме горната като u(x). Можем да кажем, че това е същото нещо като u(x) върху... Можем да разгледаме това в знаменателя като v(x). Това е v(x), затова, ако търсим производната на нещо, което може да е записано по този начин, като частно от две различни функции, тогава можем да използваме формулата за производна на частно. Ще ти дам малко помощ, както винаги. Формулата за производна на частно, ако някога я забравиш, може да се изведе от формулата за производна на произведение, за което имаме видеа, защото формулата за произведение е малко по-лесно за помнене. Но мога просто да кажа: виж, dy/dx, ако у е просто u(x) върху v(x)... Просто ще запиша формулата за производна на частно. Това ще бъде производната на функцията в числителя, d/dx от u(x), по функцията в знаменателя, v(x), минус функцията в числителя, u(x), по производната на функцията в знаменателя, d/dx от v(x). Почти сме готови. Накрая върху функцията в знаменателя на квадрат. Функцията в знаменателя на квадрат. Това може да ти изглежда сложно, но сега трябва само да помислим каква ще е производната на u(x) и каква е производната на v(x). И просто трябва да заместим тези неща обратно в този израз, който написахме. Хайде да го направим. Производната спрямо х на u(x) е равна на...Да видим. 5 минус 3х. Производната на 5 е 0. Производната на –3х, ами, това е просто –3. Ако нещо от това ти изглежда напълно непознато, те насърчавам да прегледаш свойствата за диференциране и може би правилото за производна от степен. Сега нека помислим каква ще е производната спрямо х на v(x). Производната на х на квадрат: просто изваждаме степента отпред. Ще бъде 2 по х на степен 2 минус 1 или 2х на първа степен, или просто 2х. Тогава производната на 3х е просто 3. Следователно 2х плюс 3. Сега знаем всичко, което ни трябва, за да заместим обратно тук. Производната на u спрямо х, това тук е просто –3. v(x), това знаем, че е х^2 + 3х. Знаем, че това тук е v(x). После знаем, че u(x) е 5 – 3х. Производната на v спрямо х знаем, че е 2х + 3. Накрая знаем, че v(x) е х^2 + 3х. Това е х на квадрат плюс 3х. Какво получаваме? Ще получим... Ще изглежда малко заплетено. Ще е равно на минус... Ще се фокусирам тук. Имаме тези неща. –3 по х на квадрат плюс 3х. Просто ще разкрия скобите. –3х^2 – 9х. После от това ще извадим произведението на тези два израза. Да видим какво ще получим? Имаме 5 по 2х, което е 10х. 5 по 3, което е 15. Имаме –3х по 2х, следователно това ще бъде –6х на квадрат, а после –3х по 3, което е –9х. Да видим дали можем да опростим малко. 10х минус 9х. От това ще остане само х. 10х минус 9х е просто х. Сега знаменателя и сме почти готови. В знаменателя можем да запишем х^2 плюс 3х на квадрат. Ако искаме можем да разкрием скобите. Ще го оставя така. х^2 + 3х, цялото на квадрат. Ако искаме да опростим или да се опитаме да опростим малко, ще стане –3х^2 минус 9х. Тогава ще имаме минус х и после –15. После минус –6х^2, следователно плюс 6х^2, цялото върху х^2 плюс 3х на квадрат или х^2 плюс 3х, цялото на квадрат. Трябва да го кажа така. Нека сега опростим малко числителя. –3х^2 плюс 6х на квадрат. Това ще бъде 3х^2. После имаме в оранжево –9х минус х. Това ще бъде –10х. После имаме –15. Остава –15. Готови сме. Най-накрая сме готови. Това ще бъде равно на 3х^2 минус 10х минус 15 върху х^2 плюс 3х, цялото на квадрат. И сме готови.