Диференциране на цели степенни показатели (смесени положителни и отрицателни)

Дадена ни е функцията g(x), която е равна на 2 върху х^3, минус 1 върху х^2. В това видео искам да намеря g' от х и после искам да пресметна при х = 2. Искам да разбера това. Искам също да разбера на колко е равно това, когато х е равно на 2. Какъв е наклонът на допирателната към графиката на g, когато х е равно на 2? И както винаги, спри видеото и виж дали можеш самостоятелно да го решиш, преди аз да го направя с теб. Ще ти подскажа. Трябва само да използваш правилото за намиране производна от степен, малко основни свойства за степените и някои основни правила за диференциране, за да решиш това. Добре, нека сега го направим заедно. Ще препиша това. g(x) е равно на този първи член, 2 върху х на трета... Той може да бъде записан като 2 по х на степен –3. Знаем, че 1 върху х^n е същото като х на степен –n. Затова просто го записах така и може би това ти напомня как правилото за производна от степен може да ти е полезно. После имаме минус... 1 върху х на квадрат е същото като х на степен –2. Ако вземем производната на двете страни, това ще бъде... Хайде да го направим. Производната спрямо х... Ще го направим за лявата страна, също и за дясната страна. От лявата страна производната спрямо х на g(x), която можем да запишем като g прим от х, ще бъде равна на... Производната на този първи член, написан в зелено, ще бъде... Просто ще приложим правилото за производна от степен. Ще извадим степента и ще я умножим по коефициента отпред. Всъщност нека го напиша. Това ще бъде... Това е знак за равно. Това ще бъде 2 по –3, по х и сега ще намалим степента. Трябва да сме много внимателни тук, защото понякога нашият мозък може да каже: "Добре, 1 по-малко от 3 е 3, така че това може би е х на степен –2." Но запомни, че намаляваш. Ако имаш –3 и извадиш 1, ще имаме степен –3 минус –1. Това ще бъде –4. Това х ще е на степен –4. Следователно 2 по –3х на степен –4. Можехме да го запишем и като –6х на степен –4. После минус... Ще направим същото нещо и тук. Взимаме това –2, умножаваме по коефициента, който се подразбира, че е тук. Можем да кажем, че тук е 1. –2 по 1. Тук имаме –2 и после имаме х на степен... Колко е –2 минус 1? Това е –3. На степен –3. Можем да запишем всичко това като: Производната g прим от х е равна на –6 по х на степен –4. Сега изваждаме отрицателно число, затова можем да запишем просто като плюс 2х на степен –3. Този минус и този минус стават плюс. Да извадим отрицателно число е същото като да добавиш положително. Направихме първата част. Можем да изразим g'(х) като функция на х. Сега нека пресметнем колко ще бъде g'(2). g'(2) ще бъде равно на –6 по 2 на степен –4, плюс 2 по 2 на степен –3. На колко ще е равно това? Това е равно на –6 върху 2 на четвърта, плюс 2 върху 2 на трета, което е равно на –6 върху, 2 на четвърта е 16, плюс 2 върху... 2 на трета е 8. Да видим. Нека запишем това с общ знаменател. Мога да запиша това като 1/4, но тогава това няма да стане. Мога да запиша и двете като осми. Това е –3/8. Имаме –3/8 плюс 2/8 е равно на –1/8. Следователно наклонът на допирателната при х = 2 към графиката у = g(x) е –1/8.