Секущa правa при произволна разлика (с опростяване)

Секущата пресича кривата y = 2x^2 + 1 в две точки с x-координати 4 и 4 + h, където h е различно от 0. Какъв е наклонът на секущата по отношение на h? Отговорът трябва да бъде напълно разгърнат и опростен. Знаем, че двете точки лежат на секущата. Може да не е очевидно от начина, по който са записани но ще направим малка таблица тук, за да бъде по-ясно. Имаме x и след това имаме y = 2x^2 + 1. Знаем, че при x равно на 4, на какво ще е равно y? Ще бъде 2 пъти по 4 на квадрат плюс 1, което е същото като 2 пъти по 16 плюс 1, което е същото като 32 плюс 1 значи ще бъде 33. А на колко ще е равно y при x = 4 + h? Е, ще бъде равно на 2 пъти по (4 + h)^2 плюс 1. Това ще бъде 2 пъти, да видим, 4 + h цялото на квадрат, което ще е 16 + 8h + h квадрат и тогава имаме и плюс 1. Разкриваме скобите и умножаваме по 2. Ще получим 32 + 16h + 2h^2 + 1, след което събираме 1 и 32. Всъщност ще разместя малко реда тук, така че членовете от най-висока степен да са първи и ще се получи 2 пъти h квадрат + 16h и след това 32 +1, т.е. 33. Имаме тези две точки. Имаме една точка (4; 33) и имаме друга точка (4+h; 2h^2 + 16h +33). Сега вече ни остава само да намерим наклона на секущата, върху която лежат тези две точки тъй като и двете са точки от секущата. И как намирахме наклон на права? Пресмятаме изменението на y върху изменението на x. И какво е изменението на y? Ако разглеждадаме тази точка като крайна, а тази като начална, изменението на y ще бъде тази стойност минус тази. Значи ще бъде 2h^2 + 16h + 33 – 33. Тези два члена ще се унищожат, и това върху... какво е изменението на x? Ако 4 + h е x-координатата на крайната точка, а 4 е тази на началната, то ще имаме 4 + h – 4. Тези двете се унищожават и оставаме само с (2h^2 +16h) / h. Може да разделим всичко в числителя и знаменателя на h и какво ще излезе от това? Това ще стане 1. Това е просто 1. А това е просто h. Имаме 2 пъти h + 16 цялото върху 1. Или просто 2h +16. И това е, готови сме. Това е наклонът на секущата спрямо h. И още веднъж, просто трябва да помислим за секущата съдържа точките (4; f(f)) или 2 пъти по 4 на квадрат + 1 ето тук и... е, не нарекох това точно f(x), но мисля че разбираш идеята, и след това за x = 4 + h това ще бъде y и вече намерихме наклона между тези две точки.