Секущa правa при произволна разлика

Секуща пресича кривата y = ln(x) (натурален логаритъм) в две точки с x координати 2 и 2 + h. Какъв е наклонът на секущата? Добре, дават ни две точки от правата. Може да не е видно веднага, но ни дават точките, когато x = 2. Когато x = 2, колко е y? Казват ни, че y = ln(x), така че в такъв случай ще бъде ln(2). A когато x e равно на 2 + h, колко е y? y винаги ще бъде натурален логаритъм от това, което е x. Следователно ще бъде натурален логаритъм от (2 + h). И така, това са две точки, които лежат на секущата. Това се случва там, където секущата пресича нашата крива. Но това са две точки от правата, а ако знаеш две точки от една права, ще можеш да намериш какъв е наклонът на тази права. Сега можем да си припомним, че наклонът е просто ∆y/∆x (изменение по y върху изменение по x). А на колко ще бъде равно това? Ако разглеждам втората точка като крайна такава, то ∆y ще бъде от ln(2) до ln(2 + h). Следователно изменението по y ще бъде нашата крайна точка или ln(2 + h) минус началната точка, т.е. крайната стойност за y минус началната стойност за y, т.е. ln(2). Тогава ∆x, изменението по x, ще бъде равно на крайната стойност за x (2 + h) минус началната стойност за x, т.е. минус 2. Тези двете разбира се, се съкращават, и ако погледнем тук изглежда, че имаме възможност, която директно отговаря на това, което току-що записахме. Ето това тук, ln(2 + h) минус ln(2) върху h. Ако искаш да визуализираш това по-добре, може да направим чертеж, така че ще изчистя това, за да имам място да направя графиката. Само, за да може наистина да видиш, че това е секуща. Нека да начертая моята ос y, и нека да начертая моята ос x. И y = ln(x) ще изглежда... нека да подчертая това: ще изглежда като нещо такова. Чертая го на ръка, така че няма да стане перфектно ето тук. И когато имаме точката (2; ln(2)), която ще бъде, нека да кажем над, ако това например е 2, тогава това тук е ln(2), следователно това е точката (2; ln(2)). Тогава имаме още една точка, която означихме абстрактно като (2 + h), така че е 2 плюс нещо. Нека да кажем, че това е (2 + h), а това ще бъде точката, която лежи на графиката. Тоест това ще бъде ((2 + h); ln(2 + h)), а упражнението, което току-що направихме, е намиране наклона на правата, която свързва тези две точки. Следователно правата ще изглежда като нещо такова и начина, по който направихме това, е като се запитахме: "Добре, какво е изменението за y?". И така, изменението за y... нека да видим. Ние се движим от y = ln(2) до y = ln(2 + h). Следователно изменението за y, т.е. нашето ∆y, e ln(2 + h) минус ln(2). Минус ln(2). А колко е нашето изменение за x? Движим се от 2 до (2 + h). Тръгваме от 2 до (2 + h), така че нашата промяна за x, e просто нарастването h. Тръгваме от 2 и стигаме до (2 + h), така че ∆x = h. Наклонът на секущата, която пресича нашата графика в две точки, ще бъде ∆y/∆x, което още веднъж е точно това, което имаме тук.